1.刘徽与祖冲之谁发现的更早些

是刘徽.书上是这么说的.祖冲之继承了刘徽的方法，算到了小数点七位 不过根据当时的情况判断，祖冲之用的仍是刘徽的“割园术”。

果真如此的话，祖冲之需要计算出园内接正12288边形和正24576边形的面积，要进行加、减、乘、除、开方等运算达130次以上，每次运算都要精确到9位数字，可以想象，在当时用罗列算筹来计算，是需要何等的精心与超人的毅力。 关于球体体积的计算，是祖冲之及其儿子祖（日桓）在数学方面又一项了不起的成就。

祖氏父子根据刘徽在“九章算术注”中担出的正确方法，求得了球体体积公式三国时代的大数学家刘徽祖冲之（公元429-500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人.。

2.勾股定理证明方法多多益善,快

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。

其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”

从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如图所示，我们 图1 直角三角形 用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得： 勾2+股2=弦2 亦即： a2+b2=c2 勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。

如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。

所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。 在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。

书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为： 弦=（勾2+股2）(1/2) 亦即： c=(a2+b2)(1/2) 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。

最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。

在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。

于是便可得如下的式子： 4*(ab/2)+(b-a)2=c2 化简后便可得： a2+b2=c2 亦即： c=(a2+b2)(1/2) 图2 勾股圆方图 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的。

十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”

勾股定理证明评鉴 作者：梁子杰 勾股定理（又叫「毕氏定理」）说：「在一个直角三角形中，斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。」据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！ 我觉得，证明多，固然是表示这个定理十分重要，因而有很多人对它作出研究；但证明多，同时令人眼花缭乱，亦未能够一针见血地反映出定理本身和证明中的数学意义。

故此，我在这篇文章中，为大家选出了 7 个我认为重要的证明，和大家一起分析和欣赏这些证明的特色，与及认识它们的历史背境。 证明一 图一 在图一中，D ABC 为一直角三角形，其中 Ð A 为直角。

我们在边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。过 A 点画一直线 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L，交 BC 於 M。

不难证明，D FBC 全等於 D ABD(S.A.S.)。所以正方形 ABFG 的面积 = 2 ´ D FBC 的面积 = 2 ´ D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积。

类似地，正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积。即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。

由此证实了勾股定理。 这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。

不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分！ 这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。

欧几里得（Euclid of Alexandria）约生於公元前 325 年，卒於约公元前 265 年。他。

3.求勾股定理的证明方法

勾股定理证明评鉴作者：梁子杰勾股定理（又叫「毕氏定理」）说：「在一个直角三角形中，斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。

」据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！我觉得，证明多，固然是表示这个定理十分重要，因而有很多人对它作出研究；但证明多，同时令人眼花缭乱，亦未能够一针见血地反映出定理本身和证明中的数学意义。故此，我在这篇文章中，为大家选出了 7 个我认为重要的证明，和大家一起分析和欣赏这些证明的特色，与及认识它们的历史背境。

证明一图一在图一中，D ABC 为一直角三角形，其中 D A 为直角。我们在边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。

过 A 点画一直线 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L，交 BC 於 M。不难证明，D FBC 全等於 D ABD(S.A.S.)。

所以正方形 ABFG 的面积 = 2 ′ D FBC 的面积 = 2 ′ D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积。类似地，正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积。

即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此证实了勾股定理。

这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分！这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。

这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。欧几里得（Euclid of Alexandria）约生於公元前 325 年，卒於约公元前 265 年。

他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。

而书中的第一卷命题 47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。证明二图二图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。

设直角三角形的斜边长度为 c，其余两边的长度为 a 和 b，则由於大正方形的面积应该等於 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有 （a + b）2 = 4(1/2 ab) + c2 展开得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 化简得 a2 + b2 = c2 由此得知勾股定理成立。证明二可以算是一个非常直接了当的证明。

最有趣的是，如果我们将图中的直角三角形翻转，拼成以下的图三，我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理，方法如下：图三由面积计算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b - a)2 展开得 = 2ab + b2 - 2ab + a2 化简得 c2 = a2 + b2（定理得证） 图三的另一个重要意义是，这证明最先是由一个中国人提出的！据记载，这是出自三国时代（即约公元 3 世纪的时候）吴国的赵爽。赵爽为《周髀算经》作注释时，在书中加入了一幅他称为「勾股圆方图」（或「弦图」）的插图，亦即是上面图三的图形了。

证明三图四图四一共画出了两个绿色的全等的直角三角形和一个浅黄色的等腰直角三角形。不难看出，整个图就变成一个梯形。

利用梯形面积公式，我们得到∶ 1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2 展开得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2 化简得 a2 + b2 = c2（定理得证） 有一些书本对证明三十分推祟，这是由於这个证明是出自一位美国总统之手！在 1881 年，加菲（James A. Garfield; 1831 - 1881）当选成为美国第 20 任总统，可惜在当选后 5 个月，就遭行刺身亡。至於勾股定理的有关证明，是他在 1876 年提出的。

我个人觉得证明三并没有甚麽优胜之处，它其实和证明二一样，只不过它将证明二中的图形切开一半罢了！更何况，我不觉得梯形面积公式比正方形面积公式简单！又，如果从一个老师的角度来看，证明二和证明三都有一个共同的缺点，它就是需要到恒等式 （a ± b）2 = a2 ± 2ab + b2 了。虽然这个恒等式一般都包括在中二的课程之中，但有很多学生都未能完全掌握，由於以上两个证明都使用了它，往往在教学上会出现学生不明白和跟不上等问题。

证明四（a） (b) (c) 图五证明四是这样做的：如图五（a），我们先画一个直角三角形，然后在最短的直角边旁向三角形那一边加上一个正方形，为了清楚起见，以红色表示。又在另一条直角边下面加上另一个正方形，以蓝色表示。

接著，以斜边的长度画一个正方形，如图五（b）。我们打算证明红色和蓝色两个正方形面积之和，刚好等於以斜边画出来的正方形面积。

留意在图五（b）中，当加入斜边的正方形后，红色和蓝色有部分的地方超出了斜边正方形的范围。现在我将超出范围的部分分别以黄色、紫色和绿色表示出来。

同时，在斜边正方形内，却有一些部分未曾填上颜色。现在依照图五（c）的方法，将超出范围的三角形，移入未有填色的地方。

我们发现，超出范围的部分刚好填满未曾填色的地方！由此我们发现，图五（a）中，红色和蓝色两部分面积之和，必定等於图五（c）中斜边正方形的面积。由此，我们就证实了勾股定理。

这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提。

4.勾股定理证明方法

勾股定理的种证明方法（部分） 【证法1】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即 ∠CBD= 90o. 又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 ， ∴ . 【证法2】（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP‖BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90o，QP‖BC， ∴ ∠MPC = 90o， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90o. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 【证法3】（赵浩杰证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a,EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a,CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90o， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ， ∵∠BCJ +∠CBJ= 90o， ∴∠ABG +∠CBJ= 90o， ∵∠ABC= 90o， ∴G,B,I,J在同一直线上， 【证法4】（欧几里得证明） 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点 L. ∵ AF = AC,AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面积等于， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ ，即。