正弦定理

对于ΔABC\Delta ABCΔABC，有

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}sinAa​=sinBb​=sinCc​

证明：
\qquad作三角形ΔABC\Delta ABCΔABC的外接圆，连接BOBOBO并延长交圆OOO于点DDD，连CDCDCD

\qquad设外接圆的半径为RRR

\qquad若∠A\angle A∠A为锐角，则a=BDsin⁡∠BDC=2Rsin⁡Aa=BD\sin \angle BDC=2R\sin Aa=BDsin∠BDC=2RsinA

\qquad所以asin⁡A=2R\dfrac{a}{\sin A}=2RsinAa​=2R

\qquad若∠A\angle A∠A为直角，则a=2Ra=2Ra=2R，sin⁡A=1\sin A=1sinA=1

\qquad所以asin⁡A=2R\dfrac{a}{\sin A}=2RsinAa​=2R

\qquad若∠A\angle A∠A为钝角，a=BDsin⁡∠BDC=2Rsin⁡(180∘−∠A)=2Rsin⁡Aa=BD\sin \angle BDC=2R\sin(180^{\circ}-\angle A)=2R\sin Aa=BDsin∠BDC=2Rsin(180∘−∠A)=2RsinA

\qquad所以asin⁡A=2R\dfrac{a}{\sin A}=2RsinAa​=2R

\qquad同理可得bsin⁡B=2R\dfrac{b}{\sin B}=2RsinBb​=2R，csin⁡C=2R\dfrac{c}{\sin C}=2RsinCc​=2R

\qquad综上所述，asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2RsinAa​=sinBb​=sinCc​=2R

余弦定理

对于ΔABC\Delta ABCΔABC，有

a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos Aa2=b2+c2−2bccosA
b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2=a^2+c^2-2ac\cos Bb2=a2+c2−2accosB
c2=a2+b2−2bccos⁡Cc^2=a^2+b^2-2bc\cos Cc2=a2+b2−2bccosC

另一种表示方法为

cos⁡A=a2+b2−c22bc\cos A=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2bc}cosA=2bca2+b2−c2​

cos⁡B=a2+c2−b22ac\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}cosB=2aca2+c2−b2​

cos⁡C=b2+c2−a22ab\cos C=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2ab}cosC=2abb2+c2−a2​

证明：
\qquad过BBB作BD⊥ACBD\bot ACBD⊥AC交ACACAC于点DDD

\qquad若∠A\angle A∠A为锐角，根据勾股定理，a2=d2+(b−AD)2a^2=d^2+(b-AD)^2a2=d2+(b−AD)2

\qquad所以a2=d2+(b−AD)2=c2−AD2+b2−2b⋅AD+AD2=b2+c2−2bccos⁡∠BACa^2=d^2+(b-AD)^2=c^2-AD^2+b^2-2b\cdot AD+AD^2=b^2+c^2-2bc\cos \angle BACa2=d2+(b−AD)2=c2−AD2+b2−2b⋅AD+AD2=b2+c2−2bccos∠BAC

\qquad若∠A\angle A∠A为直角，根据勾股定理，a2=b2+c2a^2=b^2+c^2a2=b2+c2，cos⁡A=0\cos A=0cosA=0

\qquad所以a2=b2+c2=b2+c2−2bccos⁡∠BACa^2=b^2+c^2=b^2+c^2-2bc\cos \angle BACa2=b2+c2=b2+c2−2bccos∠BAC

\qquad若∠A\angle A∠A为钝角，根据勾股定理，a2=CD2+d2a^2=CD^2+d^2a2=CD2+d2

\qquad所以a2=(AD+b)2+d2=AD2+2bAD+b2+c2−AD2=b2+c2−2bccos⁡∠BACa^2=(AD+b)^2+d^2=AD^2+2bAD+b^2+c^2-AD^2=b^2+c^2-2bc\cos \angle BACa2=(AD+b)2+d2=AD2+2bAD+b2+c2−AD2=b2+c2−2bccos∠BAC

\qquad同理可得b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2=a^2+c^2-2ac\cos Bb2=a2+c2−2accosB，c2=a2+b2−2bccos⁡Cc^2=a^2+b^2-2bc\cos Cc2=a2+b2−2bccosC