参考资料：

• https://zhuanlan.zhihu.com/p/96229700

算法简介

匈牙利算法主要用求二分图的最大匹配和最小覆盖

最大匹配问题

问题描述

一种形象的表述：把二分图中的一部分假设为男，另一部分为女，男生和女生之间有暧昧关系，求最大匹配就是求最多能促成多少对情侣。

算法思想

先到先得，能让则让。

代码

// 邻接矩阵存边
bool mat[maxn][maxn];
// vis[i]表示：i号女生是否已经配对
bool vis[maxn];
// p[i]表示：与i号女生配对的男生编号
int p[maxn];bool match(int i){for(int j=1;j<=n;j++){// 该女生未配对，且这对男女之间有暧昧关系if(!vis[j] && mat[i][j]){vis[j] = 1;/* match(p[j])表示让之前与i号女生配对的男生换匹配对象 */if(p[j]==0 || match(p[j])){p[j] = i;return true;}}}return false;
}int Hungarian(){int res = 0;for(int i=1;i<=n;i++){memset(vis, 0, sizeof(vis));// 统计匹配成功的男生数if(match(i)) res++;}return res;
}

例1 P1129 [ZJOI2007] 矩阵游戏

题目大意

给定一个由 0 和 1 构成的方阵，可以交换行和列，问能否通过交换操作使得方阵的主对角线上全为 1 。

思路

将矩阵转化为二分图，一部分代表各行，另一部分代表各列，如果方阵有 mat[i][j] == 1 ，则在行 i 和列 j 之间建立一条边。对这个二分图求最大匹配，如果匹配数恰好等于方阵的行列数 n ，则输出 Yes ，否则输出 No 。

代码

#include
using namespace std;const int maxn = 205;int T, n;
bool mat[maxn][maxn];
bool vis[maxn];
int p[maxn];bool match(int i){for(int j=1;j<=n;j++){if(!vis[j] && mat[i][j]){vis[j] = 1;if(p[j]==0 || match(p[j])){p[j] = i;return true;}}}return false;
}int Hungarian(){int res = 0;for(int i=1;i<=n;i++){memset(vis, 0, sizeof(vis));if(match(i)) res++;}return res;
}int main(){cin>>T;while(T--){cin>>n;memset(p, 0, sizeof(p));for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){bool a;cin>>a;if(a) mat[i][j] = 1;else mat[i][j] = 0;}}if(Hungarian() == n) cout<<"Yes";else cout<<"No";cout<<'\n';} return 0;
}

最小覆盖问题

问题描述

找到最少的点，删掉所有包含这些点的边，可以删掉所有边。

算法思路

结论：最小覆盖的点数等于最大匹配数。

找到最小覆盖点集的方法：从左侧一个未匹配成功的点出发，走一趟匈牙利算法的流程（即紫色的箭头），所有左侧未经过的点，和右侧经过的点，即组成最小点覆盖。

例1 vijos1204 CoVH之柯南开锁

题目大意

给定一个由 0 和 1 构成的 n*m 的矩阵，每次操作可以一行或一列的 1 全部变成 0 。问最少经过多少次操作才能使矩阵全 0 。

思路

仿照矩阵游戏建立二分图，每次操作等价于删除所有包含该点的边，此时问题就转化成了求二分图的最小覆盖。

代码

略。