0. 内容

1. 旋转运动学

角速度的推导：

左=ω∧\omega^{\wedge}ω∧，而ω\omegaω是在z轴方向运动，=θ′[0,0,1]T\theta^{\prime}[0,0,1]^Tθ′[0,0,1]T
两边取模后得到结论： 线速度大小=半径 * 角速度大小

其中，对旋转矩阵求导根据第一章的结论：

还有绿色箭头的公式，下面的推导看的不是很明白
实际上是把R的导数变成求极限的形式，但是这个极限怎么求的我不是很理解，然后就是下面这个公式
Rω∧=(Rω)∧RR\omega^\wedge=(R\omega)^\wedge RRω∧=(Rω)∧R

a=Rib∗aba = R_{ib}*a^ba=Rib​∗ab表示body下的加速度在III系下的表示，仍是body下的加速度，只是表示在III系。
知道了这个科氏力之后，测量出科氏力以及运动的速度就能知道角速度了，这就是gyro的一个基本原理。

2. IMU测量模型及运动模型

光纤陀螺仪一般较贵，原理是：光跑一圈路程是2πr2\pi r2πr，但如果在旋转，那就是2πr+x2\pi r+x2πr+x，测量出来这个x，用光速再进行相关计算就得到此时的角速度。

陀螺仪测角速度要两个轴：一个主动运动轴，一个敏感轴，敏感轴用于预测量科氏力

音叉振动陀螺

音叉两端左方向相反的正弦运动（什么叫正弦运动？音叉不是固定的吗？ ），同一时刻其速度相反，±v，受到的科氏力大小相同方向相反F，整个音叉收到向右的力为f，左右也都为f，把受到的力相减，抵消之后，就能测出两倍科氏力2F，同时，知道自然块运动的速度，就能算出科氏力。

科氏力为2v∗ω2v*\omega2v∗ω，

这个G-sensitivity是灵敏度系数，比如机械振动会不会对IMU测量数据造成影响，如果不那么灵敏，就不会影响，如果比较灵敏，就需要考虑IMU减震等。

加速度计是否需要考虑科氏力影响？
不需要。

因为
1.即使开始加速时质量块会加速，但最终会达到平衡，速度v=0，最终的科氏力为0，
2.加计不是主动驱动的高速运动，会很缓慢地动，最终速度为0。

3. IMU误差模型

3.1 误差模型

3.2 确定性误差

确定性误差有bias和scale，

1. bias随着时间会累积，使得位姿的误差perrp_{err}perr​越来越大；
2. scale可看成是原始物理v,ωv,\omegav,ω与ADC后的传感器输出值之间的比值，需要标定。
   

scale是尺度，Misalignment是轴偏，如yz轴投影到x轴上的轴偏。
不考虑bias时，测量出的lax=sxx∗ax+mxy∗ay+mxz∗azl_{ax}=s_{xx}*a_x + m_{xy}*a_y + m_{xz}*a_zlax​=sxx​∗ax​+mxy​∗ay​+mxz​∗az​，尺度轴偏矩阵主对角线为尺度，其他为轴偏。

其他确定性误差还有

1. 运行误差(每次都不一样)，
2. 温度相关误差（温度补偿或者标定方法）。
3. 环境相关误差（高度，室内外等）
   

六面法标定bias和scale，分别将xzy三个轴朝上或者下放置，测出的应该是±g，但是会受到bias影响.于是b=lup+ldown2b = \frac{l^{up}+l^{down}}{2}b=2lup+ldown​就是两倍bias的均值，反之，相减绝对值就是2g2g2g，一除就是尺度scale。

3.2.1 六面法标定acc

l1l_1l1​ ~ l6l_6l6​是加速度测量值，S，b是待标定的尺度轴偏矩阵和bias，a1a_1a1​ ~ a6a_6a6​是加速度的理论值，其中g=9.81g=9.81g=9.81是标量。如此可以标定出SSS和bbb。
L=S[a1,a2,a3,a4,a5,a6]+bL=S[a_1, a_2,a_3,a_4,a_5,a_6]+bL=S[a1​,a2​,a3​,a4​,a5​,a6​]+b
最小二乘法能够求出S和b共12个元素。

3.2.2 六面法标定gyro

同理，标定gyro也可以使用这种方法，需要有一个角速度较为精确的转台，也用6面，相对加计，此时我们知道较为精确的角速度ω1\omega_1ω1​~ω6\omega_6ω6​，即可标出gyro的尺度、轴偏、bias。

3.2.3 温度标定

一般采用soak method，精度较高。

3.3 IMU随机误差

3.3.1 IMU随机误差的介绍

bias的导数满足高斯分布n(t)n(t)n(t)（注意是导数而不是bias本身），这个bias的分布被称为随机游走（random walk）。

ADC采样时间段内认为数据是常数，采集的数据=理想数据+bias和随机游走的噪声带来的部分，这个不是常数，所以需要进行积分

仅考虑高斯白噪声时（假设bias和n(t)是相互独立的）的协方差计算推导：
这里的τ\tauτ实际上就是一个自变量，可以是x,y,zx,y,zx,y,z等任意一个，是因为ttt在这里要代表时间，所以使用了τ\tauτ作为这里的自变量。本身高斯白噪声是满足高斯分布n(t)n(t)n(t)的，就如(13)式所定义。

协方差相关补充：


方差是协方差的特殊情况，方差实际上是对自身的协方差，即D(X)=Cov(X,X)D(X)=Cov(X,X)D(X)=Cov(X,X)，也就是X的二阶原点矩。

补充对于一二阶矩的定义：（一阶矩是期望E(X)E(X)E(X)，二阶原点矩是E(X2)E(X^2)E(X2)，二阶非原点矩E(((X−E(X))2)E(\quad((X-E(X))^2\quad)E(((X−E(X))2)，平方是因为如果E(X)E(X)E(X)不为有0时，若出现了负值，则会使整体二阶矩偏大，如果加了平方就相当于加上了绝对值，就更能体现偏离均值的范围。

这里的协方差标准写法应该是Cov(nd2[k])Cov(n_d^2[k])Cov(nd2​[k])，写法做了省略：Cov(nd[k],nd[k])=D(nd[k])=E(nd2[k])−E(nd[k])2=E(nd2[k])Cov(n_d[k],n_d[k])=D(n_d[k])=E(n_d^2[k])-E(n_d[k])^2=E(n_d^2[k])Cov(nd​[k],nd​[k])=D(nd​[k])=E(nd2​[k])−E(nd​[k])2=E(nd2​[k])(因为这里nd[k]n_d[k]nd​[k]是均值为0的高斯分布，所以E(nd[k])=0\bm{E(n_d[k])=0}E(nd​[k])=0，方差=平方的期望-期望的平方)，不好理解，内部展开就是下面项目的相乘

假设高斯白噪声是独立的，n(τ)n(t)n(\tau)n(t)n(τ)n(t)只有特定项（时间相差为1时）相乘才会有值，是狄拉克函数δ(t1−t2)=1(当且仅当t1−t2=1时)\delta(t_1-t_2)=1(当且仅当t_1-t_2=1时)δ(t1​−t2​)=1(当且仅当t1​−t2​=1时)
右因为前面有：

在tΔtt~\Delta tt Δt时间内只有一个时刻能使狄拉克函数为1，所以内层积分为1，外层积分为 (t+Δt)−Δt=Δt(t+\Delta t)-\Delta t=\Delta t(t+Δt)−Δt=Δt ，消掉分母即得协方差σ2Δt\frac{\sigma^2}{\Delta t}Δtσ2​。
同理，下面的协方差写法也是做了省略，省略过程见上。

看起来像是开方的，σ\sigmaσ那一项相当于是服从一个N(0,1)N(0,1)N(0,1)分布。

结论：bias随即游走噪声方差从连续到离散之间需要∗Δt*\sqrt{\Delta t}∗Δt​。（这个推导最后的开放有些看不懂，具体更详细的需要看论文

3.3.2 IMU随机误差的标定

主要是标定协方差，用于IMU选型，确定使用什么灵敏度类型的IMU
random walk noise的标定

艾伦方差的标定的论文：

斜率-0.5处，t=1时的值是高斯白噪声方差的大小，斜率0.5，t=3处值是bias random walk的方差的大小，具体为什么，需要去看论文。（功率谱，靶向量？）

数据仿真部分：
（主要是标定Acc和Gyro的bias的random walk的方差，使用Kalibr_allan）

3.4 IMU数学模型

尺度因子如果标定的话会对精度有小幅提升（MSCKF什么黎明杨做的？VINS-MONO用过）
加计数学模型：加速度计的测量数据由尺度轴偏矩阵，重力分量，高斯白噪声，bias等构成。

陀螺仪数学模型：
下面这篇论文对MSCKF进行了非常详细的建模，如果有兴趣可以看。

4. 运动模型离散时间处理：欧拉法&中值法

如何使用这些数据获得pose：
这里需要强调，重力加速度gwg^wgw前面的符号是跟坐标系定义有关的，如果是东北天，那就是-，如果是北东地就是+，整体上自洽即可。

基于导数，四元数导数的⊗\bm{\otimes}⊗是四元数乘法，可以积分计算位置，速度，旋转：

欧拉法进行近似，假设在每个积分间隔内，被积函数值保持不变，即k~k+1时刻的积分使用k时刻的值：

关于四元数的更新：
qωbk+1=qωbk+q′Δt=q⊗[10]+q⊗[012ωΔt]（q提出来）=q⊗[112ωΔt]\begin{align} q_{\omega b_{k+1}} &= q_{\omega b_k}+q^{\prime}\Delta t \\ &=q \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}+ q \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{2}\omega \Delta t \end{bmatrix} \\ （q提出来）&=q \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1}{2}\omega \Delta t \end{bmatrix} \\ \end{align} qωbk+1​​（q提出来）​=qωbk​​+q′Δt=q⊗[10​]+q⊗[021​ωΔt​]=q⊗[121​ωΔt​]​​

相较于欧拉法，中值法使用了k&k+1时刻的积分的均值，稍微准一点。
由于k->k+1时间较短，可以使用第k时刻的bias来矫正第k+1时刻的acc和gyro的值

5. IMU数据仿真

两种方式产生IMU仿真数据：

1. 指定轨迹方程，求一阶导，二阶导得加速度等IMU仿真数据。
2. 已有pose轨迹，但不知道方程，使用B-Spline产生IMU仿真数据。
   
   

由于四元数导数

所以四元数更新如上。
SO(3)更新也如上，更直观的方式是转换成欧拉角，需要将body系下的角速度转换为欧拉角速度。

粗略的理解：
旋转顺序是固定的（先绕哪个轴，再绕哪个轴）
最后转的x轴，所以x轴的角速度就是dψdt\frac{d\psi}{dt}dtdψ​，
绕y轴转完之后还要绕x轴转个ψ\psiψ，所以y轴的角速度要乘一个R(ψ)R(\psi)R(ψ)
绕z轴转完之后还绕yx分别转了θ\thetaθ和ψ\psiψ，所以z方向的角速度要多乘个R(ψ)R(θ)R(\psi)R(\theta)R(ψ)R(θ)

所以就得到了Inertial->body系下的角速度转换矩阵，求逆就得从body->Inernial下的转换。

6. 作业

Reference

1. MSCKF详细建模推导（国外硕士论文）

2. Allan方差曲线论文

3. 离散和连续的IMU随机误差方差推导

4. 6面法标定误差（自己之前看过abstract的）

2014 ICRA：A Robust and Easy to Implement Method for IMU Calibration without
External Equipments

5. IMU数据仿真时IMU body系下的角速度转化为欧拉角速度课件

6. 利用B Spline（B样条）和已有IMU数据你拟合方程，产生IMU数据