第一讲 函数与初等函数

一 函数

函数的2个要素：定义域、对应关系

定义域：自变量 x 的取值范围。

对应关系：定义中提到“如果对每个数 x ∈D ，变量 y 按照一定的法则总有确定的数值与之对应”，此“一定的法则”即为函数的对应关系。

举例：

y1=2lgx

y2=lgx2

虽然这两个函数的表达式（即对应关系）一样，但是定义域有所不同，所以不是同一个函数。只有两个要素（定义域和对应关系）都一样，才是同一个函数。

例题：求函数的定义域

提示，所谓定义域就是使得函数有意义的自变量的取值范围

因此该函数定义域为： [−4,−π)∪(0,π) 。

函数的几种特性（有界性、单调性、奇偶性、周期性）

（1）有界性：设函数 f(x) 的定义域为 D 。如果存在正数 M ，使得 |f(x)|≤M 对任意的 x∈D 都成立，则称 f(x) 于 D 上有界，否则称 f(x) 于 D 上无界。

举例：

i.函数 y=sin⁡x ,当 x∈(−∞,+∞) 时，函数值的绝对值 |y|=|sin⁡x|≤1 所以函数 y=sin⁡x 在定义域 (−∞,+∞) 上有界。

（2）单调性：设 f(x) 的定义域为 D ，区间 I⊂D 。如果对 I 内的任意两点 x1

f(x1)f(x2) ）

则称 f(x) 于区间 I 上是单调增加的（或者单调减少的）。

单调增加和单调减少统称为单调函数。

（3）奇偶性：设函数 f(x) 的定义域 D 是关于原点对称的。如果对任一 x∈D ,都有

f(−x)=f(x) （或者 f(−x)=−f(x) ）恒成立，则称 f(x) 是偶（奇）函数。

举例：

i.奇函数： y=sin⁡xy=x3

ii.偶函数： y=cos⁡xy=x2

iii.非奇非偶： y=x3+x2

（4）周期性：设函数 f(x) 的定义域为 D 。如果存在一个不为零的正数 l ，使对任一 x∈D 有 (x±l)∈D 且 f(x+l)=f(x) 恒成立，则称 f(x) 为周期函数， l 称为 f(x) 的周期。我们通常所说的周期指的是最小正周期。

举例：

i. y=sin⁡xy=cos⁡x （以 2π 为周期）

ii. y=tan⁡xy=cot⁡x （以 π 为周期）

二 初等函数

1.基本初等函数

注：无论 μ 取何值，幂函数在 (0,+∞) 总是有定义的。

三角函数：常用的三角函数有

正弦函数y=sin⁡x余弦函数y=cos⁡x正切函数y=tan⁡x余切函数y=cot⁡x

其中 sin⁡x,cos⁡x 是以 2π 为周期的周期函数，定义域都是 (−∞,+∞) ,值域为 [−1,1] 。 sin⁡x 为奇函数， cos⁡x 为偶函数。它们的图形如下所示：

正切函数 tan⁡x 和余切函数 cot⁡x 都以 π 为周期， tan⁡x 的定义域为 D={x|x∈R,x≠(2n+1)π/2,n∈Z}

cot⁡x 的定义域是D={x|x∈R,x≠nπ,n∈Z}

它们的值域都是 (−∞,+∞) 。他们的图形如下图所示：

反三角函数：

反正弦函数y=arcsin⁡x反余弦函数y=arccos⁡x反正切函数y=arctan⁡x反余切函数y=arccot⁡x

以上四个反函数都是单值函数。

arcsin⁡x 的定义域为 [−1,1] ，值域 [−π/2,π/2] ，是 [−1,1] 上的单调增加函数；

arccos⁡x 的定义域为 [−1,1] ,值域为 [0,π] ,是 [−1,1] 上的单调减少函数；

arctan⁡x 的定义域为 (−∞,+∞) ,值域为 (−π/2,π/2) ,是 (−∞,+∞) 上的单调增加函数；

arccot⁡x 的定义域为 (−∞,+∞) ,值域为 (0,π) ，是 (−∞,+∞) 上的单调减少函数。

反函数们的图形如下：

2.复合函数与初等函数

复合函数：设y=f(u) 的定义域为 D1 ，值域为 W1 。函数 u=φ(x) 的定义域为 D2 ，值域为 W2 。如若 W2⊂D1 ，则称函数 y=f[φ(x)] 为由函数 y=f(u) 及 u=φ(x) 复合而成的符合函数，其中 u 叫做中间变量， D2 为复合函数的定义域。如： y=sin⁡x2,y=1−x2,y=tan⁡(x/2) 都是复合函数,拆分如下：

初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数；由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成的可用于一个式子表示的函数成为初等函数。如：