图的代数表示及特征

用邻接矩阵或关联矩阵表示图，称为图的代数表示。

邻接矩阵

设n阶标定图G=(V,E)，V = {v1, v2,…, vn}，则G的邻接矩阵是一个n×n 矩阵A(G) = [ aij ] (简记为A)，其中若vi与vj邻接，则aij=1，否则aij=0.
若aij取为连接vi与vj的边的数目，则称A为推广的邻接矩阵。

邻接矩阵的性质

1. 邻接矩阵是一个对称方阵。
2. 简单标定图的邻接矩阵的各行（列）元素之和是该行（列）对应的点的度。（非简单标定图不成立，有自环的不成立）。
3. 若A1和A2是对应于同一个图的两种不同的标定的邻接矩阵，则A1和A2相似，即存在一个可逆矩阵P使得A1=P^-1A2P。
4. G是连通的，当且仅当没有G的点的一种标定法使得邻接矩阵有约化的形式。非连通图才有约化形式。
   
   

注：v4到v4有自环，则a44=1.

1. v1到v1的长度为2的途径数目为1
2. v1到v2的长为2的途径的数目为0
3. v1到v3的长为2的途径的数目为2
4. v1到v4的长为2的途径的数目为0
5. v2到v2的长为2的途径的数目为5

定理：令A是n阶标号图G的推广的邻接矩阵，则A^k的i行j列元素aij^(k)等于由vi到vj的长度为k的途径的数目。
证明：当k=1时A¹ = A。顶点vi与顶点vj之间的每条边可以看成是从vi与vj的一条长度为1的途径。由定义知， A的i行j列的元素正好是vi与vj之间的边数。从而，当k=1时，结论成立。
假设命题对k成立，由于A^k+1=AA^k，故

由于ait是联结vi和vt的长度为1的途径的数目，atj^(k)是联结vt和vj的长度为k的途径的数目，所以 aitatj(k) 表示由vi经过vt到vj的长度为k+1的途径数目。

设A为简单图G的邻接矩阵，则

1. A² 的元素 aii⁽²⁾ 是 vi 的度数。A³ 的元素 aii⁽³⁾ 是含 vi 的三角形的数目的两倍。
2. 若G是连通的，对于i≠j，vi 与vj 之间的距离是使Ak 的aij(k) ≠0 的最小整数k。

关联矩阵

定义：无环图G的关联矩阵B(G) = [bij] (简记为B)是一个n×m 矩阵，当点vi与边ej关联式bij=1，否则bij=0.

注：定义中“无环”的条件可去掉，此时bij定义为点vi与边ej关联的次数（0,1,2(环)）。

性质：关联矩阵的每列和为2；其行和为对应顶点的度数。

邻接谱

图G的邻接矩阵A(G)的特征多项式：

称为图G的特征多项式。

图G的特征多项式的特征值及其重数，称为图G的邻接谱，简称谱，记为Spec(G)。

计算得

因此

若有两个非同构的图具有相同的谱，则称它们是同谱图

证明：G与H显然不同构

所以G与H是同谱图。

设简单图G=(n,m)的谱为

则

证明：因A的各特征值的平方组成矩阵A²的特征值，所以

又因为A²对角线元素之和为各点度数之和

因此


证明：设λ=λ1, λ2, …, λn是G的全部特征值。
对向量(1, 1,…, 1)与(λ2, λ3, λ4,…, λn)应用柯西-施瓦茨不等式，得

因为G是简单图，从而A(G)的对角元全为零，所以

又因为

将上述两式分别代入第一个式子的左端和右端，便可得证。

图的邻接代数

定义：设A是简单图的邻接矩阵，容易验证

对于矩阵的加法和数域矩阵的乘法来说构成复数域C上的向量空间，称该空间为图G的邻接代数。

定理：设G为n阶简单连通图，则d(G)+1≤ dimΛ(G) ≤ n。

注：具有n个点的路的直径显然为n-1，因此n点路的邻接代数的维数为n。

设G为n阶简单连通图，则A(G)的不同特征值的个数s满足不等式：d(G)+1 ≤ s ≤ n
证明：由矩阵理论知：非负对称矩阵的不同特征值的个数等于其最小多项式的次数，而最小多项式的次数等于G的邻接矩阵的维数，所以：d(G)+1 ≤ s = dimΛ(G) ≤ n.

n点路不同特征值的个数为n。完全图Kn的直径显然为1，不同特征值的个数恰好为2

图空间

具有m条边的简单标号图的生成子图的个数显然为2^m。
设G1, G2,…, GN（N=2^m）表示简单图G的全部生成子图。
定理：集合M={G1, G2,…, GN}在对称差运算△与数乘运算
0● Gi = Ø ， 1● Gi = Gi
下，构成数域F={0, 1}上的一个m维向量空间。