导数求函数最大值和最小值习题
创始人
2024-02-28 17:34:02
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前置知识:导数求函数最大值和最小值

例1

f(x)=∣x2−3x+2∣f(x)=|x^2-3x+2|f(x)=∣x2−3x+2∣,求f(x)f(x)f(x)在[−10,10][-10,10][−10,10]上的最值。

解:

\qquad当x∈[−10,1)∪[2,10]x\in[-10,1)\cup[2,10]x∈[−10,1)∪[2,10]时,f(x)=x2−3x+2f(x)=x^2-3x+2f(x)=x2−3x+2,f′(x)=2x−3f'(x)=2x-3f′(x)=2x−3

\qquad在范围内没有可能的极值点

f(−10)=132,f(2)=0,f(10)=72\qquad f(-10)=132,f(2)=0,f(10)=72f(−10)=132,f(2)=0,f(10)=72

\qquad当x∈[1,2)x\in[1,2)x∈[1,2)时,f(x)=−x2+3x−2f(x)=-x^2+3x-2f(x)=−x2+3x−2,f′(x)=−2x+3f'(x)=-2x+3f′(x)=−2x+3

\qquad可能的极值点:x=32x=\dfrac 32x=23​

f(32)=14,f(1)=0\qquad f(\dfrac 32)=\dfrac 14,f(1)=0f(23​)=41​,f(1)=0

\qquad综上所述,最大值为132132132,最小值为000


例2

f(x)=xln⁡xf(x)=\sqrt{x}\ln xf(x)=x​lnx的最值。

解:
\qquad定义域为(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞),f′(x)=ln⁡x2x+xx=(ln⁡x+2)x2xf'(x)=\dfrac{\ln x}{2\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{x}=\dfrac{(\ln x+2)\sqrt{x}}{2x}f′(x)=2x​lnx​+xx​​=2x(lnx+2)x​​

\qquad可能的极值点:x=e−2x=e^{-2}x=e−2

f(e−2)=−2e−1\qquad f(e^{-2})=-2e^{-1}f(e−2)=−2e−1

\qquad所以函数的最小值为−2e−1-2e^{-1}−2e−1


总结

  • 求区间内最大值时不要漏掉两端端点(如果可以取到的话)
  • 函数的极值不一定是最值,区间的最值不一定是极值

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