前置知识：导数求函数最大值和最小值

例1

f(x)=∣x2−3x+2∣f(x)=|x^2-3x+2|f(x)=∣x2−3x+2∣，求f(x)f(x)f(x)在[−10,10][-10,10][−10,10]上的最值。

解：

\qquad当x∈[−10,1)∪[2,10]x\in[-10,1)\cup[2,10]x∈[−10,1)∪[2,10]时，f(x)=x2−3x+2f(x)=x^2-3x+2f(x)=x2−3x+2，f′(x)=2x−3f'(x)=2x-3f′(x)=2x−3

\qquad在范围内没有可能的极值点

f(−10)=132,f(2)=0,f(10)=72\qquad f(-10)=132,f(2)=0,f(10)=72f(−10)=132,f(2)=0,f(10)=72

\qquad当x∈[1,2)x\in[1,2)x∈[1,2)时，f(x)=−x2+3x−2f(x)=-x^2+3x-2f(x)=−x2+3x−2，f′(x)=−2x+3f'(x)=-2x+3f′(x)=−2x+3

\qquad可能的极值点：x=32x=\dfrac 32x=23​

f(32)=14,f(1)=0\qquad f(\dfrac 32)=\dfrac 14,f(1)=0f(23​)=41​,f(1)=0

\qquad综上所述，最大值为132132132，最小值为000

例2

f(x)=xln⁡xf(x)=\sqrt{x}\ln xf(x)=x​lnx的最值。

解：
\qquad定义域为(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞)，f′(x)=ln⁡x2x+xx=(ln⁡x+2)x2xf'(x)=\dfrac{\ln x}{2\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{x}=\dfrac{(\ln x+2)\sqrt{x}}{2x}f′(x)=2x​lnx​+xx​​=2x(lnx+2)x​​

\qquad可能的极值点：x=e−2x=e^{-2}x=e−2

f(e−2)=−2e−1\qquad f(e^{-2})=-2e^{-1}f(e−2)=−2e−1

\qquad所以函数的最小值为−2e−1-2e^{-1}−2e−1

总结

• 求区间内最大值时不要漏掉两端端点（如果可以取到的话）
• 函数的极值不一定是最值，区间的最值不一定是极值