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（来源：华安证券研究）

本篇是学海拾珠系列第二百五十六篇。本文深入探讨了全球股票市场集中度显著上升背景下，股票投资组合中最优持股数量的决定机制。研究指出，尽管均值-方差优化模型长期以来被用于构建风险视角下“充分分散化”的组合，但从持仓分散化的实际角度看，其效果仍不明确。本文通过实证分析与优化模型，系统性地揭示了预期跟踪误差、基准权重分布、个股Alpha分布及协方差矩阵等关键输入因素如何共同影响最优持股数量，尤其聚焦于基准相对组合的分散化需求，为主动型投资策略的构建提供了重要参考。

相对基准组合的持股数量需求显著高于非基准组合

为控制跟踪误差，相对基准的投资组合需持有远多于非基准组合的股票数量——对多数宽基市场，通常需持有数百只成分股方能实现有效风险分散。例如，为将跟踪误差控制在 50 个基点以内，需持有 300-400 只股票；若要进一步降至 10 个基点，则需超过 900 只股票。

最优持股数量的多维度决定因素

最优持股数量受几个关键因素的影响：预期跟踪误差、基准中证券的横截面权重分布、个股 alpha（或 Smart Beta/主题投资组合的风险敞口）的分布，以及协方差矩阵。

市场集中度上升减少最优持股需求

当市场集中度上升时（如头部股权重增加），最优持股数量通常下降。原因在于：主动权重（Active Weights）和主动份额（Active Share）随之上升，导致跟踪误差增加。此时，组合可通过更集中的持仓实现目标风险水平。

文献结论基于历史数据与海外文献进行总结；不构成任何投资建议。

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引言

近期全球股票市场的集中度显著上升。作者以前也经历过市场集中度上升的时期，但今年的上升尤为显著。图表 2 显示了自 1998 年以来 MSCI 世界指数中前十大成分股的权重。大型科技公司，如亚马逊、Alphabet、微软和 Meta，主导了市值的增长。这一趋势引发了关于基准指数是否充分分散化，以及跟踪这些指数或以这些指数为基准的投资组合是否适当分散化的疑问。

投资组合分散化可以通过两种主要方式来定义：风险分散化和持仓（持股数量）分散化。两者相关，但并非总是一一对应。风险分散化更受学术界关注，但持仓分散化常被行业从业者使用，因为传统的风险度量（标准差、方差等）不能很好地捕捉下行风险、尾部风险或异常值。持仓分散化可以捕捉到这一点，即使是间接的；例如，如果投资者有一支股票占其投资组合的 50%，显然该股票存在重大风险，可能导致巨额损失，而标准风险度量可能无法反映这一点。

在本文中，研究持仓（持股数量）分散化，特别关注相对基准的投资组合，这是机构主动型和因子/主题策略的标准。作者在均值-方差优化构建的投资组合背景下进行此研究。均值-方差优化长期以来被用于构建股票投资组合，并且人们普遍认为从风险角度看，由此产生的投资组合是充分分散化的。但从持仓角度看，情况则远不明朗。

近期推动对该话题兴趣的是均值-方差优化在构建因子、主题和 ESG 指数及投资组合中的广泛应用。由于这些投资组合通常具有相互竞争的目标（例如，在一个投资组合中同时捕捉价值和动量敞口，同时捕捉具有更好或改善 ESG 特征的小盘股），已经看到优化器相较于基于规则的投资组合构建方法正被越来越多地采用。但优化是有代价的：典型的均值-方差优化器选择的股票数量通常是初始样本域的一个小子集，这凸显了理解持仓分散化概念的必要性。图表 3 显示了一些使用优化或类似组合构建方法的流行指数的持股数量。在所有情况下，这些指数持有的股票数量往往远少于其初始基准池。所有这一切都引出一个问题：多少持股数量是最优的？在本文中，我们试图阐明影响主动/因子/主题股票投资组合持股数量的因素，以及如何思考最优持股数量。首先回顾关于持股数量的学术文献，并解释为什么相对基准的投资组合需要比这些论文中经常引用的低得多的数量更多的股票。然后，在一般性背景下研究最优持股数量的决定因素。具体而言，跟踪误差是主要决定因素。接下来，假设跟踪误差固定，分析最优持股数量的其他决定因素。这些输入因素包括基准中证券的横截面权重分布、个股 alpha（或 Smart Beta/主题投资组合的风险敞口）的分布，以及协方差矩阵。然后讨论了近期市场集中度的上升，以及为什么主动/因子/主题股票投资组合的最优持股数量通常会下降。最后，为未来的研究提供了一些有前景的思路。

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现有文献中的最优持股数量以及基准组合为何需要更多股票

一个投资组合应该持有多少股票才能算是充分分散化的？关于这个问题的开创性论文是梅尔·斯塔特曼（Meir Statman）1987 年的文章《多少支股票构成一个分散化的投资组合？》。斯塔特曼发现这个数字大约在 30-50 支股票，其依据是投资组合回报标准差的下降程度。斯塔特曼报告称，持有一支证券时投资组合风险为 49.2%，随着股票数量增加和特异性风险被分散掉，风险迅速下降。持有 20-30 支股票时，风险平均约为 23%，超过这个数量后没有明显的进一步分散化效果。

在斯塔特曼（1987）之后，一系列研究证实了最优数量低于 100 支股票；参见Surz and Price (2000), Chong and Phillips (2013), Alexeev and Tapon (2014), 和 Kapodistria (2018)。这些研究分析了不同的样本域、时间段、投资组合与单股波动率，以及标准差以外的其他度量，如预期损失、财富终值、跟踪误差和 R 平方。

斯塔特曼（1987）的观察及其后续研究纯粹专注于衡量绝对意义上的风险。如果关注点是跟踪误差而非绝对风险，答案则不同。宽基市场指数持有大量股票；构成许多机构投资者核心配置的主要宽基市场指数持有数百甚至数千支股票。截至 2022年 6 月 30 日，MSCI ACWI 指数（MSCI 旗舰的发达和新兴市场指数）持有 2,895支股票。MSCI 世界指数（即 MSCI ACWI 中的发达市场部分）持有 1,513 支股票。在美国，罗素 1000、2000 和 3000 分别持有 1,020、1,991 和 3,011 支股票，与其命名相符。根据设计，许多指数都有一个长尾，也就是说，它们有许多在指数中权重很小的股票。图表 4 显示了几个知名指数按四分位分组的权重情况，其中四分位组的构建使得每组具有相同的权重，恰好占投资组合的 25%。最低四分位组中包含的股票数量之多清楚地显示了这种长尾效应。

由于小权重股票的长尾存在，相对基准的投资组合所需的股票数量远多于此。为了说明其原因，图表 5 绘制了一个假设投资组合的跟踪误差与持股数量的关系图，该组合由 MSCI 世界指数成分股（截至 2023 年 9 月 29 日）构成，通过最小化总方差或主动方差，并受限于最大持股数量约束。最小化总方差的假设投资组合通过优化解决公式 1 描述的问题，最小化主动方差的假设投资组合通过优化解决公式 2 描述的问题。

其中 ω = 投资组合权重向量，b = 基准权重向量，Q 是协方差矩阵。图表5中使用的协方差矩阵是 Axioma AXWW4-MH 全球股票基本面中期风险模型。

在图表5中，作者关注拐点，即曲线开始变得平坦的地方。主动风险的拐点出现在比总风险高得多的持股数量上。当观察总风险时，超过40支股票后分散化收益微乎其微，这与过去的文献一致。但主动风险（跟踪误差）的门槛要高得多，如果存在这样一个门槛的话。事实上，主动风险可能一直下降到 0%，直到基准指数成分股被全部包含在内。要将跟踪误差保持在1%以下，需要持有 100-200 支股票。要将跟踪误差保持在 50 个基点（bps）以下，需要持有 300-400 支股票。要将跟踪误差保持在10个基点以下，需要持有超过 900 支股票。很明显，分散化的指数化投资组合所需的股票数量主要由期望的跟踪误差水平决定。

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持股数量与跟踪误差的关系

理解这种关系的本质，或许最好通过了解投资组合的持股数量如何与投资组合的主动份额相关联，以及后者又如何与投资组合的跟踪误差相关联来实现。对于那些熟悉主动份额概念的人来说，持股数量与跟踪误差之间的这种关系将是直观的。一个投资组合的主动份额，如 Cremers and Petajisto (2009)所定义，就是相对证券权重（包括低配和超配）的绝对值之和除以二。

较高的主动份额往往与较高的主动方差相关：

绝对相对权重（w - b 项）的增加会导致公式 3 和公式 4 中的主动份额和主动方差都上升，因此，在其他条件相同的情况下，主动份额和主动方差预期是正相关的。换句话说，主动份额的增加会提高投资组合的因子敞口，可以预期主动方差会更高。可能存在例外，但通常，主动份额的变化通常不会伴随同等规模的 alpha 或因子赌注的变化，因此主动份额的增加伴随着主动方差和跟踪误差的增加。 鉴于较高的主动份额通常意味着较高的跟踪误差，作者倾向于看到主动份额与持股数量之间存在负相关关系。根据公式 3，主动份额可以看作是投资组合的总低配（或总超配，因为两者必须相等）。想象一下，随着证券的低配程度越来越高，总低配额也在上升。在某个点上，低配达到了最大值，即基准权重，因为一支证券的低配不能超过其基准权重。在这一点上，该证券不再被包含在投资组合中，投资组合的持股数量下降。因此，较高的跟踪误差通常导致最优投资组合的持股数量减少。

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固定跟踪误差水平下最优持股数量的主要决定因素

接下来，作者探讨在跟踪误差水平固定或给定的情况下，最优持股数量的主要决定因素。这些决定因素包括：

• 风险估计，即协方差矩阵（通过其对跟踪误差的影响）；

• 基准中证券的横截面权重分布；

• alpha 或因子得分或 ESG 特征的横截面分布。

4.1 风险估计（协方差矩阵）

最优持股数量的第一个驱动因素是用于构建优化组合的风险估计集，即协方差矩阵。当风险较高时，相同的主动份额会导致更高的主动风险，进而，相同的持股数量也会导致更高的主动风险。其直观理解可通过公式 5 中的方差方程得出：

在给定相同的 ∥ω−b∥2（即相同的持股数量）的情况下，投资组合主动方差的上界由 λmax（协方差矩阵的最大特征值）决定。也就是说，当市场风险增加（λmax 变大）时，相同的持股数量通常会导致更高的主动风险。 

例如，MSCI 世界指数（使用 Axioma Worldwide-WW4-MH 风险模型）的标准差从 2019 年 6 月的 12.4%上升至 2020 年 10 月（全球疫情第一年）的 22.0%。如图表 6 所示。在此期间，持有相同数量的股票通常会导致更高的主动风险。例如，持有 301 只股票（使用图表 54 构建的组合）在 2019 年 6 月产生了 49 个基点的跟踪误差（TE），但在 2020 年 10 月产生了更高的 65 个基点的跟踪误差。

4.2 基准中证券的权重分布

最优持股数量的第二个决定因素是基准中证券权重的横截面分布。在相同的跟踪误差水平下，基准的尾部越肥厚（即小权重股票数量越多），达到特定跟踪误差水平所需的基准成分股数量就越少。

一些基准指数的尾部比其他指数更肥厚；例如，罗素 3000 指数有近 92%的成分股位于最小的四分位数中，也就是说，92%的成分股仅占总指数权重的 25%。这高于罗素 1000 指数最小四分位数中 82%的成分股占比，也高于 MSCI 世界指数最小四分位数中 75%的成分股占比。因此，如果将罗素 3000 指数中 92%的成分股排除在投资组合之外，主动份额可能低至 25%，而同样比例的证券排除会给罗素 1000和 MSCI 世界指数带来高得多的主动份额。对于 MSCI 世界指数，主动份额可能高达 50%，因为最小的两个四分位数总共包含了 93.3%的成分股。总之，在尾部更肥厚的指数中，排除相同比例的股票往往会导致更低的主动份额，从而产生更小的主动方差。图表 7 以罗素 1000 和罗素 3000 成分股为起点，展示了为求解以下优化目标而构建的假设组合：

约束条件： (ω−b)′1=0,ω≥0，持股数量 ≤N，其中 N 为基准成分股数量的 1%,10%,21%,…,92%。 这是在持股数量有不同约束条件下可实现的最小风险组合，类似于前面的练习。跟踪误差相对于持股数量（分别以 1000 和 3000 为总体的百分比）绘制。 罗素 3000 指数的尾部比罗素 1000 指数更肥厚；因此，从每个指数中排除相同百分比的股票，前者产生的跟踪误差略低。例如，如果我们只持有罗素 1000 指数中30%的股票，会产生 30 个基点的跟踪误差，而罗素 3000 指数仅产生 10 个基点的跟踪误差。

4.3 Alpha、因子得分或 ESG 特征

接下来，作者转向主动型基准组合，其目标函数中嵌入了证券的 alpha、因子或ESG 特征。为说明目的，本文聚焦于因子组合，并分析因子得分的横截面分布以及因子的相对风险如何影响理想的持股数量。

再次假设跟踪误差水平给定，关于目标因子的分布如何影响持股数量，有一个类似的直观理解。如果一个因子偏好基准权重较小的证券，那么该因子组合的持股数量往往会比偏好基准权重较大证券的组合更多。这是因为超配总会使证券保留在组合中，而低配则可能减少持股数量。此外，风险较高的因子，在相同的 alpha/因子暴露水平下，往往会导致持股数量较少的组合。

一个例子将有助于说明这一点。使用截至 2023 年 9 月 29 日的 MSCI 世界指数成分股，构建捕获价值、质量、动量等知名因子的单一因子组合。这些组合使用以下目标函数和约束条件构建：

使用 Axioma 全球中周期（WWMH4）模型作为风险模型，并用于因子定义——价值、规模因子的倒数、盈利性、中期动量以及波动率因子的倒数。

如图表 8 所示，尽管所有组合都目标相同的 0.5 的因子暴露，但各组合的持股数量差异很大。截至该日期，低波和动量因子组合比价值和盈利性因子风险更高，导致在相同目标因子暴露水平（0.5 个标准差）下，这些目标因子组合的主动风险更高，持股数量更少。

图表 9 比较了单一因子组合的主动风险、主动份额和因子风险。注意到，规模因子组合在这里是一个例外。尽管规模因子是风险最高的因子，但规模因子组合的持股数量明显多于低波和动量组合。这结果与前面解释的因子得分分布有关。图表10 显示了（每个因子的）证券得分分布与证券基准权重的并列对比。

规模因子与基准权重负相关，因此被超配的证券往往规模较小。同时，被低配的证券往往规模较大，这使得被低配的证券更有可能留在组合中。这也可以从图表 11中清晰看出，该图表显示了超配和低配（在某些情况下是完全排除出组合）的证券数量。尽管规模因子组合在 0.5 的相同暴露水平下拥有最大的主动份额（82%），但在纯多头组合中，较大的主动份额并未导致持股数量大幅减少。这是因为主动份额的超配部分分布在规模较小但数量更多的股票上（与其他因子组合相比），而主动份额的低配部分则分布在规模较大但数量较少的股票上，这些股票由于基准权重较大，更可能留在组合中。

4.4 市场集中度上升与持股分散化

随着市场集中度的上升，对持股数量有何影响？正如在前面部分所看到的，随着市场集中度的上升，主动型/因子/主题股票组合的最优持股数量通常会下降。这是因为主动权重和主动份额通常会增加，进而导致更高的跟踪误差。然而，使问题复杂化的是，市场集中度的上升也会导致基准权重分布的变化，并可能引起 alpha 分布、因子暴露、ESG 特征以及风险估计分布的不确定性变化。例如，在基本面投资过程中，如果基金经理仅凭证券是否入选组合来决定，而没有有意识地调整头寸规模，那么当市场集中度上升时，他们会下更大的赌注。

在图表 12 中，重复了之前的实践，这次评估如果改变基准的集中度会发生什么。以 MSCI 世界指数的成分股为起点，通过将顶部四分位数股票（17 只）的权重乘以2，同时将其余股票的权重除以 2，强制使其更加集中。权重被重新归一化，使其总和为 100%。我们还通过将顶部四分位数股票的权重除以 2，同时将其余股票的权重乘以 2，创建了一个集中度较低的假设基准。我们观察到，基准的集中度越高，达到相同跟踪误差水平所需的持股数量就越少。

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结论

在持股分散化的背景下重新审视了最优持股数量问题，随着优化器的应用越来越广泛，这个话题也开始更多地出现。回顾一下关于持股数量驱动因素的主要要点：

1. 相对于基准的投资组合需要持有的股票数量远多于无基准组合，通常达到数百只；

2. 最优持股数量受几个关键输入因素的影响——预期跟踪误差、基准中证券的横截面权重分布以及个股 alpha（或 smart beta/主题组合的暴露）的分布，以及协方差矩阵。

本文仅仅触及了这个话题的表面，但希望能阐明这个并不像人们想象中那么直接了当的主题。事实上，Zaimovic, Omanovic 和 Arnaut-Berilo (2021) 最近对数十篇出版物进行了文献综述，发现“对于任何市场、时期或投资者而言，并不存在一个通用的、构成一个良好分散化投资组合的最优股票数量。” 

持股数量也间接地与近期市场集中度上升的讨论相关。根据本文的框架，在市场集中度上升时期，假设其他条件不变，投资组合所需的最优持股数量通常会下降， 因为跟踪误差、主动权重和主动份额都会上升。虽然这非常直观，但可能有点讽刺意味，因为投资者可能希望他们的主动策略持有更多的股票来“平衡”市场集中度的上升。 此外，作者怀疑基准权重的分布、alpha 或因子得分的分布以及风险估计也可能随着 集中度的变化而改变。设想未来的研究可以扩展我们的初步发现，以整合这些变化。

与此同时，本文也提出了若干可供未来研究深入探讨的方向，例如：风险分散与持仓分散究竟有何本质差异？是否应更关注其中一方，又当如何权衡？面对市场集中度的动态变化，组合管理人是否应相应调整其跟踪误差或主动份额，以期提升分散化程度或最大化收益来源？我们相信，沿着这些研究方向深入探索，必将获得更多有价值的见解。

文献来源： 核心内容摘选自 Bender J , Sun X .于 2024 年在 Journal of Portfolio Management 上的文章《How Many Is Too Few? Revisiting the Number of Names in Equity Portfolios》。

文献结论基于历史数据与海外文献进行总结；不构成任何投资建议。

本报告摘自华安证券2025年11月19日已发布的《【华安证券·金融工程】专题报告：重审股票投资组合中的持股数量 ——“学海拾珠”系列之二百五十六》，具体分析内容请详见报告。若因对报告的摘编等产生歧义，应以报告发布当日的完整内容为准。