■保继光

数学究竟有何用处？数学高考为何如此难？数学又该如何教好？每年的招考季，数学考试都会引发这些热议。今年高考落幕后，同样又迎来这三大“灵魂拷问”。要回答这些问题，我们需从概念出发，用理性思维的方式进行探讨。

　　数学高考改革作为中国教育改革的风向标，其演变趋势始终与国家战略、技术革命及教育理念变革深度交织。稳步推进中高考改革，改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械刷题”现象，正是当下高考数学命题的总体趋势。

　　——编者

　　近年来，数学高考一直在提高试卷结构和试题设计的灵活性，加大创新力度，降低机械刷题和套路训练的收益，起到了抑制题海战术的作用。当然，这样的命题思路，与数十年固化的教学模式发生了碰撞。当考题不再遵循固定套路，机械刷题自然失去市场，去模式化的命题也确实让一些老师“无试可应”。一些中学教师习惯了刷题教育，对越来越灵活的命题改革不适应，对变化的本能反应就是指责题目超标。其实，一些被诟病的“难题”，很可能只是没有刷到的普通题目。

　　可以说，数学高考的终极目标正从选拔“做题家”转向发现具有学科交叉能力的数学领军人才，其改革的深层使命是：让高考成为点燃数学之美的火炬，而非禁锢思维的牢笼。

AI时代，掌握数学语言就是掌握生存技能

　　在一般人眼中，数学意味着繁难的计算、无尽的推演，以及“天书般”的公式和符号。实际上，数学来自人类对生活的观察，对现实问题的思索，是人类用逻辑理解混沌世界的尝试。

　　近200年以来，电子计算机、原子能技术、空间技术、通信技术等都与数学紧密相关；相对论、量子力学、超弦理论、分子生物学、数理经济学和混沌理论等科学分支所需要的数学工具尤为深奥、抽象。

　　今天，人们之所以能预测天气变化，就是因为有人研究了微分方程；能使用人工智能，是因为有人研究了概率、线性代数、调和分析；能刷短视频，是因为有人研究了傅里叶变换、信号编码。

　　最近被热炒的“挂谷猜想”就是源于一个实际场景：一个武士上厕所时遭四面八方射来的暗箭偷袭，他手里只有一把短刀。如何挥舞，才能在最小面积里挡住所有箭？这被抽象为著名的数学猜想“在n维空间中，包含任意方向的单位线段的集合的豪斯多夫维数与闵可夫斯基维数必须等于n”。它还有很重要的实际应用，比如，为优化高频信号压缩算法提供理论支持，助力设计更稳定的无线通信系统等。

　　人们往往把数学知识当作数学，这其实是一种误解。学习数学，不应以懂多少数学公式为目标，而是要锻炼学生解决问题的过程中所用到的思维方法，也就是数学思维。

　　有数学思维的人，不仅做事有条理，而且擅长独立思考，更能从多角度开辟思维点，进行逆向思考。可以说，数学是逻辑思维的锻炼，是探索未知、寻求解答的过程，是形成缜密判断的方式。所以，数学教学的目的不是让所有人都成为数学家，而是培养一种思维习惯，无论人们日后从事何种行业，这些思维习惯都能让他们受益。特别是在人工智能快速进步的今天，掌握逻辑的语言就是帮助孩子掌握生存技能。

　　既然数学那么有用，为什么人们还对数学有那么深的误解？原因之一，是数学的学习起点有点高，使人敬而远之；原因之二，是大众传播对数学学科产生误读。比如，陈景润证明的不是“1+1=2”，而是“1+2”。1+1=2是数学公理，无需证明，而“1+2”指的是哥德巴赫猜想的阶段性结论，即任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数和另外一个最多是两个素数乘积之和的形式。因此，在信息泛滥的网络时代，更要重视理性思维，避免听信虚假或不完整信息。

题目难可能影响高考分数，但不影响录取结果

　　每个时代都有自己特有的选人标准，高考对国家、对家庭都是一个高利害考试，而高考命题则是一个专业问题、科学问题，有其自身的规律。试题、试卷、考试的难度都是比较难有确切定义的概念，需要深入研究。为了确保选拔功能，试卷应该具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度。同时，要保持合理的难度梯度，既有基础题保障公平性，又有中档题和较难题护航分层，也有压轴题用以拔尖。

　　命题需要综合考量人才选拔、试卷导向、考生感受，使试卷契合考生的水平，提高考生的获得感，同时对不同水平的考生进行良好的区分，实现高考的选拔功能。

　　2019年，教育部考试中心发布《中国高考评价体系》，构建了“立德树人、服务选才、引导教学”三位一体的新时代教育评价改革的核心理念。其中，服务选才是高考的直接目标，选拔结果不仅要反映出考生在高中阶段的学业水平，更要能预测考生在高等教育阶段的学习表现和发展潜力。因此，高考改革的目的是使分数的排名与考生的素养尽可能地一致，选拔出国家需要的人才。

　　但是，国家对创新人才的渴求，与学生、家长和一线教师对绝对分数的追求，形成了高考中的一个基本矛盾。

　　每逢数学高考，表面上都有很多人说题目难。题目难的直接意思，就是得分率低。但是，考题的难易并不影响高考的录取。录取分数线本质上是根据报考和招生人数划定的一个位次分数，并非简单的绝对分数。评价高考结果应该重排名、轻分数。一个人考的好坏不是由他自己高考分数决定的，而是由所在省全部考生的分数决定的。

　　早在1984年，当年的高考数学命题组就提出了“出活题、考基础、考能力”的指导思想，导致了全国平均分只有26分，创下了数学高考难度之最，但仍然不影响它当年的录取情况。

　　高考数学试卷难度大并非试卷命题的原因，而是与整个社会评价体系有关。对大多数人来说，增加试卷的难度和区分度可能影响高考分数，但不影响高考录取的结果，无非是增加了层次。

提升数学思维，关键靠有思维含量的教学

　　数学教育具有鲜明的理论性和实践性，既要符合教育学的普遍规律，又要适合中国的国情，更要契合数学的思维方式。所以，数学基础教育的改革方向，既不是源于大众学习数学的自身感受，也不是学生家长教育子女的经验教训。

　　所以，学生数学思维水平的提高，最终要靠教师有思维含量的教学来造就。这也意味着，课堂教学要能够揭示数学的本质，教师要从观念上启发学生去深入、科学地思考数学问题，掌握理性思维的方式，有效提升学生的创新能力。

　　但目前，基础教育阶段的教研活动更多集中在教育理念、教学方法和应对高考层面，而非探讨数学的基本概念、通性通法和理性思维，遗忘了课程标准的教学要求和教师数学专业发展的日常需求。

　　理想的数学教学，就是要帮助学生彻底搞懂核心概念、公式和定理，不是死记硬背，而是理解其本质、来源和适用条件；数学教学最大的误区就是只盯着眼前的分数和题海，老师盯着学生赶紧学完高中知识，复习的时间越多越好，讲的内容和题目越多越好，而不会关注学生学会了多少，是否学会了学习，以为学生“学了”就是“会了”。这也是为什么很多时候学生只会做那些见过的题型，数学成绩的好坏决定于考试时碰到的题是不是做过的类型。而现在的高考要选拔的是真正具备数学素养，且思维能力强的学生，而不是靠熟练度只会做套路题目的学生。未来，没有真正理解底层逻辑、底层规律的考生，就会越来越难拿高分。

　　眼下，国内高中数学教学中最突出的现象是机械刷题，它消耗学生的学习求知热情。有些学生看似勤奋，花了别人多几倍的时间刷一大堆题，但收效甚微，掉入“假努力的陷阱”，却掩盖了真正的懒惰。学生认为，只要付出了时间和精力就能取得好结果，不反思努力行为对目标实现有否帮助，忽视了做事效率和方法，只是机械地重复动作。

　　高中数学教学只有正确理解高考改革背后的现实逻辑，真正转变高中数学的教育观念，在举措上同向同行，培育学生的理性思维和数学学科核心素养，才能有利于教学改革和备考工作的顺利推进，让学生在高考中获益。数学教育的健康发展也要靠我们共同的努力。培养优秀的学生，让优秀的人去培养更优秀的人，是适应世界教育改革发展趋势、提升中国国际竞争力的迫切需要。培养真正的数学人才，还要从基础教育抓起。

　　（作者为北京师范大学数学科学学院教授）