前言

两轮自平衡小车由车体和双轮两部分组成，可以看成一个移动的倒立摆，分别对车轮和车体进行力学分析，建立动力学模型，最后，通过对两者的分析给出系统的状态空间表达式。

车轮模型

以右轮为例进行受力分析，如图所示

将车轮的运动分解为平动和转动，
由牛顿第二定律可得
mxR¨=HfR−HR(1)m\ddot{x_R}=H_{fR}-H_{R} {(1)}mxR​¨​=HfR​−HR​(1)

由刚体定轴转动定律可得
IωR˙=TR−HfRr(2)I\dot{\omega_R}=T_R-H_{fR}r {(2)}IωR​˙​=TR​−HfR​r(2)

其中，

联立(1)(2)(1)(2)(1)(2)，消去HfRH_{fR}HfR​，可得

mxR¨=TR−IωR˙r−HR(3)m\ddot{x_R}=\frac{T_R-I\dot{\omega_R}}{r}-H_{R} {(3)}mxR​¨​=rTR​−IωR​˙​​−HR​(3)

在车轮不打滑的情况下，车轮的移动速度的大小和转动速度的大小成比例关系，即
{ωR=xR˙rωR˙=xR¨r(4)\begin{cases} \omega_R=\frac{\dot{x_R}}{r} \\ \dot{\omega_R}=\frac{\ddot{x_R}}{r} \end{cases} {(4)} {ωR​=rxR​˙​​ωR​˙​=rxR​¨​​​(4)
将方程(4)(4)(4)代入(3)(3)(3)中，消去ωR˙\dot{\omega_R}ωR​˙​，可得
(m+Ir2)xR¨=TRr−HR(5)(m+\frac{I}{r^2})\ddot{x_R}=\frac{T_R}{r}-H_{R} {(5)} (m+r2I​)xR​¨​=rTR​​−HR​(5)
由于左右轮的参数相同，对左轮有类似的结果，即
(m+Ir2)xL¨=TLr−HL(6)(m+\frac{I}{r^2})\ddot{x_L}=\frac{T_L}{r}-H_{L} {(6)} (m+r2I​)xL​¨​=rTL​​−HL​(6)

车轮模型

车体的运动也可以分解为正向运动（前向、俯仰）和侧向运动（转向、偏航）。

（1）正向运动

小车的正向运动可以分解为前向运动和绕车体质心PPP的相对转动（俯仰）。小车底盘中心OOO的水平位移为x=xL+xR2(7)x=\frac{x_L+x_R}{2} {(7)}x=2xL​+xR​​(7)

将方程(5)(6)(5)(6)(5)(6)相加，等式两边同时除以222可得
(m+Ir2)xL¨+xR¨2=TL+TR2r−HL+HR2(8)(m+\frac{I}{r^2})\frac{\ddot{x_L}+\ddot{x_R}}{2}=\frac{T_L+T_R}{2r}-\frac{H_{L}+H_{R}}{2}{(8)} (m+r2I​)2xL​¨​+xR​¨​​=2rTL​+TR​​−2HL​+HR​​(8)
将(7)(7)(7)代入(8)(8)(8)可得
(m+Ir2)x¨=TL+TR2r−HL+HR2(9)(m+\frac{I}{r^2})\ddot{x}=\frac{T_L+T_R}{2r}-\frac{H_{L}+H_{R}}{2}{(9)} (m+r2I​)x¨=2rTL​+TR​​−2HL​+HR​​(9)

对车体，应用牛顿第二定律可得

在水平方向上，有
Md(x+lsinθP)dt2=HL+HR(10)M\frac{d(x+lsin\theta_P)}{dt^2}=H_L+H_R{(10)} Mdt2d(x+lsinθP​)​=HL​+HR​(10)
在竖直方向上，有
Md(lcosθP)dt2=VL+VR−Mg(11)M\frac{d(lcos\theta_P)}{dt^2}=V_L+V_R-Mg{(11)} Mdt2d(lcosθP​)​=VL​+VR​−Mg(11)
对车体，由刚体定轴转动定律可得
JPθP¨=(VL+VR)lsinθP−(HL+HR)lcosθP−(TL+TR)(12)J_P\ddot{\theta_P}=(V_L+V_R)lsin\theta_P-(H_L+H_R)lcos\theta_P-(T_L+T_R){(12)} JP​θP​¨​=(VL​+VR​)lsinθP​−(HL​+HR​)lcosθP​−(TL​+TR​)(12)
其中，

联立方程(9)(10)(9)(10)(9)(10)，将HL+HRH_{L}+H_{R}HL​+HR​项消去，可得
(M+2m+2Ir2)x¨−TL+TRr+MlθP¨cosθP−MlθP˙2sinθP=0(13)(M+2m+\frac{2I}{r^2})\ddot{x}-\frac{T_L+T_R}{r}+Ml\ddot{\theta_P}cos{\theta_P}-Ml\dot{\theta_P}^2sin{\theta_P}=0(13) (M+2m+r22I​)x¨−rTL​+TR​​+MlθP​¨​cosθP​−MlθP​˙​2sinθP​=0(13)
其中，sinθdt=θ˙cosθ\frac{sin\theta}{dt}=\dot{\theta}cos\thetadtsinθ​=θ˙cosθ，d(θ˙cosθ)dt=θ¨cosθ−θ˙2sinθ\frac{d(\dot{\theta}cos\theta)}{dt}=\ddot{\theta}cos\theta-\dot{\theta}^2sin\thetadtd(θ˙cosθ)​=θ¨cosθ−θ˙2sinθ

方程含有非线性项，因此，进行线性化，考虑到车体的倾角比较小，通常情况下−10∘≤θP≤10∘-10^{\circ}\leq\theta_P\leq10^{\circ}−10∘≤θP​≤10∘，则可以认为
{cosθP=1sinθP=θPθP˙2=0\begin{cases} cos\theta_P=1 \\ sin\theta_P=\theta_P \\ \dot{\theta_P}^2=0 \end{cases} ⎩⎨⎧​cosθP​=1sinθP​=θP​θP​˙​2=0​
故方程(13)(13)(13)变为
x¨=TL+TR(M+2m+2Ir2)r−Ml(M+2m+2Ir2)θP¨(14)\ddot{x}=\frac{T_L+T_R}{(M+2m+\frac{2I}{r^2})r}-\frac{Ml}{(M+2m+\frac{2I}{r^2})}\ddot{\theta_P}(14) x¨=(M+2m+r22I​)rTL​+TR​​−(M+2m+r22I​)Ml​θP​¨​(14)
将方程(10)(11)(10)(11)(10)(11)代入方程(12)(12)(12)中，消去HL+HRH_L+H_RHL​+HR​以及VL+VRV_L+V_RVL​+VR​可得
(JPMl+l)θP¨+x¨cosθP−gsinθP+TL+TRMl=0(15)(\frac{J_P}{Ml}+l)\ddot{\theta_P}+\ddot{x}cos\theta_P-gsin\theta_P+\frac{T_L+T_R}{Ml}=0(15) (MlJP​​+l)θP​¨​+x¨cosθP​−gsinθP​+MlTL​+TR​​=0(15)
对方程(15)(15)(15)进行线性化可得
θP¨=Mlg(JP+Ml2)θP−Ml(JP+Ml2)x¨−TL+TR(JP+Ml2)(16)\ddot{\theta_P}=\frac{Mlg}{(J_P+Ml^2)}\theta_P-\frac{Ml}{(J_P+Ml^2)}\ddot{x}-\frac{T_L+T_R}{(J_P+Ml^2)}(16) θP​¨​=(JP​+Ml2)Mlg​θP​−(JP​+Ml2)Ml​x¨−(JP​+Ml2)TL​+TR​​(16)
将方程(16)(16)(16)代入方程(14)(14)(14)中，消去θP¨\ddot{\theta_P}θP​¨​，可得
x¨=−M2l2gQeqθP+JP+Ml2+MlrQeqr(TL+TR)\ddot{x}=-\frac{M^2l^2g}{Q_{eq}}\theta_P+\frac{J_P+Ml^2+Mlr}{Q_{eq}r}(T_L+T_R) x¨=−Qeq​M2l2g​θP​+Qeq​rJP​+Ml2+Mlr​(TL​+TR​)
其中Qeq=JPM+(JP+Ml2)(2m+2Ir2)Q_{eq}=J_PM+(J_P+Ml^2)(2m+\frac{2I}{r^2})Qeq​=JP​M+(JP​+Ml2)(2m+r22I​)

∂2∂t2θP(t)=MglθP(t)Ml2+JP−Ml∂2∂t2x(t)Ml2+JP−TL+TRMl2+JP\frac{\partial ^2}{\partial t^2} \theta _{P}\left(t\right)=\frac{M\,g\,l\,\theta _{P}\left(t\right)}{M\,l^2+J_{P}}-\frac{M\,l\,\frac{\partial ^2}{\partial t^2} x\left(t\right)}{M\,l^2+J_{P}}-\frac{T_{L}+T_{R}}{M\,l^2+J_{P}} ∂t2∂2​θP​(t)=Ml2+JP​MglθP​(t)​−Ml2+JP​Ml∂t2∂2​x(t)​−Ml2+JP​TL​+TR​​
to be continued