CF1780F Three Chairs

题目大意

有一个长度为nnn的正整数序列aia_iai​，序列中的元素两两不同。你可以从序列中任取不同的三个元素组成一个三元组，当三元组中最大的数和最小的数两者互质，则这个三元组为合法的三元组，求这个序列中的元素组成的三元组中有多少个三元组为合法的三元组？

题解

首先我们可以将aaa数组排序。

设fif_ifi​表示第iii个元素和在第iii个元素之前的元素作为最大值和最小值的合法三元组的个数，则有

fi=∑j=1i(i−j−1)×[gcd⁡(i,j)==1]f_i=\sum\limits_{j=1}^i(i-j-1)\times [\gcd(i,j)==1]fi​=j=1∑i​(i−j−1)×[gcd(i,j)==1]

那么答案即为

∑i=1nfi=∑i=1n∑j=1i(i−j−1)×[gcd⁡(i,j)==1]\sum\limits_{i=1}^n f_i=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^i(i-j-1)\times [\gcd(i,j)==1]i=1∑n​fi​=i=1∑n​j=1∑i​(i−j−1)×[gcd(i,j)==1]

根据莫比乌斯函数的性质，原式变为

∑i=1n∑j=1i(i−j−1)×∑k∣ai,k∣ajμ(k)\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^i(i-j-1)\times\sum\limits_{k|a_i,k|a_j}\mu(k)i=1∑n​j=1∑i​(i−j−1)×k∣ai​,k∣aj​∑​μ(k)

先枚举kkk得

∑k=1anμ(k)∑k∣ai∑k∣aj,j

用桶来存aaa数组，枚举kkk，然后枚举kkk的倍数，后面的式子就可以由前缀和求出。

令mxmxmx表示aaa的最大值，总共枚举的次数为mx+mx2+mx3+⋯+mxmx≈mxln⁡mxmx+\dfrac{mx}{2}+\dfrac{mx}{3}+\cdots+\dfrac{mx}{mx}\approx mx\ln mxmx+2mx​+3mx​+⋯+mxmx​≈mxlnmx，所以时间复杂度为O(mxln⁡mx)O(mx\ln mx)O(mxlnmx)。

code

#include
using namespace std;
const int N=300000;
int n,a[300005],v[300005],z[300005],p[300005],mu[300005];
long long sum,tmp,w,ans=0;
void init(){mu[1]=1;for(int i=2;i<=N;i++){if(!z[i]){p[++p[0]]=i;mu[i]=-1;}for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=N;j++){z[i*p[j]]=1;if(i%p[j]==0) break;mu[i*p[j]]=-mu[i];}}
}
int main()
{init();scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);}sort(a+1,a+n+1);for(int i=1;i<=n;i++){v[a[i]]=i;}for(int i=1;i<=a[n];i++){sum=tmp=w=0;for(int j=i;j<=a[n];j+=i){if(!v[j]) continue;sum+=(v[j]-1)*w-tmp;++w;tmp+=v[j];}ans+=mu[i]*sum;}printf("%lld",ans);return 0;
}