斜率优化DP_资讯_奥飞商务网

创始人

2025-05-29 17:45:10

一.考虑如下DP方程

1.m为常数，s表示数组前缀和

dp[i]=min(dp[j]+(s[j]-s[i]])^2)+m

2.化简可得 dp[i]=dp[j]+s[j]^2+s[i]^2-2s[i]s[j]+m

3.观察式子可知，若想dp[i]更小,则需要 dp[j]+s[j]*s[j] 更小

4.因此dp方程转换为 dp[j]=s[j]^2=dp[i]-s[i]^2+2s[i]s[j]+m

5.令y等于 dp[j]+s[j]^2 ，k等于 2s[i] ，x等于 dp[i]+s[i]^2+m

6.又因为 s[i] 递增，因此用一个单调队列维护凸包即可

二.出队优化

1.队首出队

若存在两个点a,b,且a

若i从b转移优于从a转移，则有 dp[b]+(s[i]-s[b]^2)+m<=dp[a]+(s[i]-s[a])^2+m

化简式子后 (dp[b]+s[b]^2)-(dp[a]+s[a]^2)<=2s[i](s[b]-s[a])

又因为 s[b]-s[a]>0 ,因此移项可得

$\frac{((dp[b]+s[b]^2)-(dp[a]+s[a]^2))}{(s[b]-s[a])}<=2s[i]$ 时从队首弹出

2.队尾出队

考虑下方情况，因为斜率递增，因此答案取t1一定不优

因此要去掉t1,如果t1和t2斜率大于t1和i的斜率那么t1出队

$Yt1=dp[t1]+s[t1]^2\;\;\;\;Xt1=s[t1]$

$Yt2=dp[t2]+s[t2]^2\;\;\;\;Xt2=s[t2]$

$Yi = dp[i]+s[i]^2\;\;\;\;Xi=s[i]$

则 $k1=\frac{(Yt1-Yt2)}{(Xt1-Xt2)}\;\;\;\;\;k2=\frac{(Yi-Yt1)}{(Xi-Xt1)}$

若k1>=k2，则弹出t1，式子化简为

(Yt1-Yt2)*(Xi-Xt1)>=(Yi-Yt1)*(Xt1-Xt2)