一、TL;DL

条件概率的公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)；即事件A和事件B同时发生的概率等于在发生A的条件下B发生的概率乘以A的概率。

贝叶斯公式：由条件概率公式推导出 P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)

全概率公式：假设B是由相互独立的事件组成的概率空间{B1,b2，...bn}，P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+..P(A|Bn)P(Bn)

两个事件的独立性：意味着P(A|B)=P(A)；P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B)

结合全概率公式后，贝叶斯公式：

常常把P(Bi|A)称作后验概率（Posterior），而P(A|Bn)P(Bn)为先验概率（Prior）。而P(Bi)又叫做基础概率。

多元贝叶斯：P(A|B,C) = P(A,B,C)/P(B,C)= P(C|A,B)*P(A,B)/P(B,C) = P(C|A,B)*P(B|A)*P(A)/P(C|B)*P(B)

二、贝叶斯法则

在贝叶斯法则中，每个名词都有约定俗成的名称：

Pr(A)是A的先验概率或边缘概率。之所以称为"先验"是因为它不考虑任何B方面的因素。

Pr(A|B)是已知B发生后A的条件概率，也由于得自B的取值而被称作A的后验概率。

Pr(B|A)是已知A发生后B的条件概率，也由于得自A的取值而被称作B的后验概率。

Pr(B)是B的先验概率或边缘概率，也作标准化常量（normalized constant）。

按这些术语，Bayes法则可表述为：

后验概率 = (似然度 * 先验概率)/标准化常量 也就是说，后验概率与先验概率和似然度的乘积成正比。

另外，比例Pr(B|A)/Pr(B)也有时被称作标准似然度（standardised likelihood），Bayes法则可表述为：

后验概率 = 标准似然度 * 先验概率

直观理解贝叶斯原理：

三、全概率公式

B_i之间两两互斥且在每次试验中至少发生其中一个（互相独立），计算A可以使用全概率公式，从对B的条件概率入手

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+..P(A|Bn)P(Bn)

四、贝叶斯应用

References