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2024-10-26 21:42:03

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作圆周参数换元如下：

x = r * cos t，y = r * sin t，z = z，其中，t ∈ (0, 2π).

代入柱体方程得到：

r^2 <= 2a * r * cost => r <= 2a * cos t

代入圆周方程得到：

r^2 + z^2 <= 4a^2 => -√(4a^2 - r^2) <= z <= √(4a^2 - r^2)

另外，可以计算出其雅克比为 r，所以

V = ∫ [0,2π] ∫ [0, 2a * cos t] ∫ [-√(4a^2 - r^2), -√(4a^2 - r^2) ] r dz dr dt

= 2 ∫ [0,2π] ∫ [0, 2a * cos t] r * √(4a^2 - r^2) dr dt

= 32/9 * a^3 * (-4+3π)

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