数学小故事：绞刑架与理发师的故事

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世界文学名著《唐?吉诃德》中有这样一个故事：

唐?吉诃德的仆人桑乔?潘萨跑到一个小岛上，成了这个岛的国王。他颁布了一条奇怪的法律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么?”

如果回答对了，就允许他在岛上游玩，而如果答错了，就要把他绞死。

对于每一个到岛上来的人，或者是尽兴地玩，或者是被吊上绞架。有多少人敢冒死到这岛上去玩呢?

一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了这个问题，而这个人的回答是：

“我到这里来是要被绞死的。”

请问桑乔?潘萨是让他在岛上玩，还是把他绞死呢?

如果应该让他在岛上游玩，那就与他说“要被绞死”的话不相符合，这就是说，他说“要被绞死”是错话。既然他说错了，就应该被处绞刑。

但如果桑乔?潘萨要把他绞死呢?这时他说的“要被绞死”就与事实相符，从而就是对的，既然他答对了，就不该被绞死，而应该让他在岛上玩。

小岛的国王发现，他的法律无法执行，因为不管怎么执行，都使法律受到破坏。他思索再三，最后让卫兵把他放了，并且宣布这条法律作废。

这又是一条悖论。还有一个由数学家伯特兰?罗素(Russel，1872―1970)提出的悖论与之相似：

在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：

“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎!”

来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。德国的逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”

由于形形色色的悖论的研究，促进了数学理论基础的研究，使数学更进一步发展，更坚实地建立在牢固的基础之上。