高精度算法

• 1.导论
• 2.高精度+低精度
• 3.高精度+高精度
• 4.高精度减法

1.导论

当我们利用计算机进行数值计算，有时候会遇到这样的问题： n！的精确结果是多少？
当n小于30的时候，我们当然可以通过电脑自带的计算器计算出来。但是当我们遇到 100! 的时候就没有办法直接计算出精确的结果。再比如，求两个20000位的数的和。

那怎么解决精度缺失的问题？
高精度算法（High Accuracy Algorithm） 是处理大数字的数学计算方法。

• 在一般的科学计算中，会经常算到小数点后几百位或者更多，当然也可能是几千亿几百亿的大数字。一般这类数字我们统称为高精度数，高精度算法是用计算机对于超大数据的一种模拟加，减，乘，除，乘方，阶乘，开方等运算。对于非常庞大的数字无法在计算机中正常存储。
• 于是，将这个数字拆开，拆成一位一位的，或者是四位四位的存储到一个数组中， 用一个数组去表示一个数字，这样这个数字就被称为是高精度数。
• 高精度算法就是能处理高精度数各种运算的算法，但又因其特殊性，故从普通数的算法中分离，自成一家。
• 高精度处理，实际上就是模拟法，模拟手算，它的原理与我们用竖式计算时一样的，不过在处理过程中要注意高精度数据的读入、转换储存、数据的计算、结果位数的计算、输出等几个问题。

2.高精度+低精度

有一个很大的数，例如 99999999999999999；一个小的数6666。如何把这两个数加起来呢？

高精度的加法思想

1. 把大数存到字符串;

2. 字符串的每个字符数字都通过ASCII转换存到数组,
   注意的是要低位存在数组开头:a[i] = s[len-i-1]-‘0’;

3. 加法进位的算式:
   ① a[i+1] += a[i]/10;
   ② a[i] %= 10;

4. 数字溢出，长度+1;

5. 反向输出结果;

来看下我们怎么做的，以C++语言编程为例子。

#include
#include
using namespace std;
string s1;
int a[1000],b; 
int main(){cin>>s1>>b; // 1.输入数值 

代码中，s1数组存的是大数，b整数存小数。
① 1234 + 66
② 123456 + 99
按照数学加法运算，是先个位数与个位数相加，也就是
① s1[3] + 6
② s1[5] + 9
由上面可知，个位数+个位数的索引下标不一致，会增加编程难度。那可以考虑把数组倒序存储！个位数放到数组开头位置也就是s1[0]，那无论数值多大，数组下标都是s1[0] 开始进行加法的。

//	s1存到数组a里面，记得转为整数int len1 = s1.size(); //获取长度for(int i=0;ia[i] = s1[len1-i-1]-'0';} 

因为s1是字符串要通过ASCII码表转成整数，所以要减掉 -‘0’。

好，上面我们已经完成把大数存到数组里了，接着要进行加法运算。

• 把小数先加到a[0]位置: a[0] +=b; 例如 1234 + 89 =》a[0] = 1323;
• 接着把新的个位数留在a[0]，其他位数进行 进位操作。

a[0+1] += a[0] /10; // a[1] = 3+132 = 135  
a[0] = a[0] % 10; // a[0] = 3

• 以此类推，更新十位数，其他位数进位操作。

	//3.进行加法运算。a[0]+=b; // 5+9999 10004//4.进位操作for(int i=0;ia[i+1] += a[i] / 10;a[i] = a[i] % 10;}

加法运算后，要考虑到数子溢出的情况； 例如 999 +11 == 1010 多出来了千位数。解决这个问题简单，判断最高位是否不为0，满足条件就再一次进行进位操作！

	//5.考虑到数字溢出 while(a[len1]){a[len1+1] += a[len1]/10;a[len1] %= 10;len1++;} 

最后输出结果，记得要反向，因为前面我们a[0] 是最低位，输出从左到右是高位到低位的。

	//6.反向输出for(int i=len1-1;i>=0;i--){cout<

#include
#include
using namespace std;
string s1;
int a[1000],b; 
int main(){cin>>s1>>b;
//	s1存到数组a里面，记得转为整数int len1 = s1.size();for(int i=0;ia[i] = s1[len1-i-1]-'0';} //3.进行加法运算。a[0]+=b; // 5+9999 10004//4.进位操作for(int i=0;ia[i+1] += a[i] / 10;a[i] = a[i] % 10;}//5.考虑到数字溢出 if(a[len]){len++;} //6.反向输出for(int i=len1-1;i>=0;i--){cout<

#include
#include
using namespace std;
string s1,s2;
int a[10000],b[10000],c[100001];
int main(){
//	1.输入值，长度 cin>>s1>>s2;  int len1 = s1.size();int len2 = s2.size(); 
//	2.把字符转为整数存到数组
//  注意要个位存到数组开头 for(int i=0;ia[i] = s1[len1-i-1]-'0';} for(int i=0;ib[i] = s2[len2-i-1]-'0';}

//	3.获取最大的数。 int len = max(len1,len2);// 对各个位数进行相加并把最新的值存到输出C里面。for(int i=0;ic[i]=a[i]+b[i];}

	//4.进位for(int i=0;ic[i+1] += c[i]/10;c[i] %= 10; }

	//6.考虑到数字溢出 if(a[len]){len++;} //7.反向输出 for(int i=len-1;i>=0;i--){cout<

#include
#include
using namespace std;
//12345647899513131515656
//54213213
string s; // 大数 
int a[10000],b; // b代表小数 
int main(){
//	1.输入值cin>>s>>b;
//	2.如何把s转为整数存到数组int len = s.size(); //字符串长度
//	3.分别把每一个字符存到整数数组里面！for(int i=0;i//a[0]存最低位(个位数),把字符转为数字 a[i] = s[len-i-1]-'0'; }	
//	4.两个数相加，a[0]+ba[0] += b; //9+1111 a[0]=1120 //5.进位 for(int i=0;ia[i+1] += a[i] / 10; //进位 a[i] %= 10; //本位 }//6.考虑到数字溢出 if(a[len]){len++;} //7.反向输出 for(int i=len-1;i>=0;i--){cout<

#include
#include
using namespace std;
string s1,s2;
int a[10000],b[10000],c[10000];
int main(){
//	1.输入值cin>>s1>>s2;
//	2.判断大小,固定s1恒大于s2 if(s1.size()swap(s1,s2); //交换值cout<<"-";} 
//	3.获取长度int len1 = s1.size(); int len2 = s2.size();  
//	4.字符变整数for(int i=0;ia[i] = s1[len1-i-1]-'0';} for(int i=0;ib[i] = s2[len2-i-1]-'0';} 

	//5.减法运算 for(int i=0;iif(a[i]a[i+1]--; //被借位-- a[i]+=10; // 本位+10 }c[i] = a[i]-b[i];  //相减结果存到数组c} 

	//6.去除前导零while(c[len1-1]==0 && len1>1){len1--;} //7.反向输出for(int i=len1-1;i>=0;i--){cout<

/*
高精度减法的思想1.输入大数; 2.判断大小,固定s1恒大于s2:if(s1.size()1){len1--;} 7.反向输出;
*/
#include
#include
using namespace std;
string s1,s2;
int a[10000],b[10000],c[10000];
int main(){
//	1.输入值cin>>s1>>s2;
//	2.判断大小,固定s1恒大于s2 if(s1.size()swap(s1,s2); //交换值cout<<"-";} 
//	3.获取长度int len1 = s1.size(); int len2 = s2.size();  
//	4.字符变整数for(int i=0;ia[i] = s1[len1-i-1]-'0';} for(int i=0;ib[i] = s2[len2-i-1]-'0';} //5.减法运算 for(int i=0;iif(a[i]a[i+1]--; //上位-- a[i]+=10; // 本位+10 }c[i] = a[i]-b[i]; } //6去除前导零while(c[len1-1]==0 && len1>1){len1--;} //7.反向输出for(int i=len1-1;i>=0;i--){cout<