2、dp[ ]中状态压缩的处理

dp[i]：i 表示口味，用状态压缩表示;  dp[i]表示得到口味i的最少糖果包数量。
状态转移：同样用到二进制的“或”操作。例如tmp表示某一包的糖果口味，那么dp[i | tmp]就表示得到口味 i | tmp所需要的最少糖果包数量。

代码:

n, m, k = map (int,input (). split())
tot = (1 < dp[i] +1): # 新的口味之前没算过或者包数比之前多dp[newcase] = dp[i] +1
print(dp[tot])        # 得到所有口味tot的最少糖果包数量

第二行代码解释：例如m=5，（1<

复杂度：for循环，tot=2m；for循环n次，总复杂度O(n2m)，本题n=100,m=20，约为一亿次。

例题：矩阵计数

题目描述

一个 N×M 的方格矩阵，每一个方格中包含一个字符 O 或者字符 X。

要求矩阵中不存在连续一行 3 个 X 或者连续一列 3 个 X。

问这样的矩阵一共有多少种？

输入描述

输入一行包含两个整数 N,M (1≤N,M≤5)。

输出描述

输出一个整数代表答案。

输入输出样例

输入

2 3

输出

49

思路： 

• 很直接的状态压缩DP。
• 把方格中的字符‘0’看成数字0，字符‘X’看成数字1。
• 把每一行看成一个m位的二进制数，例如一行字符“OOXOX”对应二进制数“00101”。
• 一行数字有种情况，即范围[0，1<
• 要求：这个数字中没有连续的3个1。一个符合要求的数就是这一行的一个合法状态。

做法

• 定义状态dp[i][i][k]:第i行的合法状态为j，前一行的合法状态为k时，符合条件的矩阵有多少个。（处理比较连续三行的定义方法）
• 连续3行的情况:设第i行状态为j，前一行状态为k，再前面一行状态为p，那么j & k& p等于0，说明这3行没有一列上是3个1。这3行是一种合法状态。
• 状态的递推:

                        if j & k & p==0:
                                dp[i][i][k] += dp[i- 1][k][p]

代码 

check (x) :
检查一行（用x表示这一行）里面有没有连续的3个1 

dp[ ][ ][ ]:定义三维的dp
dp[i][][k]:第i行的合法状态为j,前一行的合法状态为k时，符合条件的矩阵有多少个

def check(x):     #检查x中有没有连续3个1num = 0while x:if x & 1:num += 1           # 从第一位开始，发现一个1else:num = 0                # 没有1则重置为0if num == 3: return False   # 有连续3个1x >>= 1                     #右移一次return True                   # 没有连续三个1，满足要求
N,M = list(map(int, input ().split()))
s = 2**M
row = []                 # 合法的行
for i in range(s):       # i的范围:00000~11111if check(i): row.append(i)  # 加入合法的行
dp = [[[0 for i in range(s)] for j in range(s)] for k in range (N)] # 初始化dp
for i in row :dp[0][i][0]= 1  # 初始化第0行的符合条件的矩阵数均为1
# 遍历第1~N-1行，统计满足要求的矩阵数量
for i in range(1, N):   # 1~N-1# 对每一行遍历合法行的情况下，再检查连续3列（当前一行和前两行）是否合法for j in row:     for k in row:for p in row:if j & k & p == 0:  # 连续三列不是三个1dp[i][j][k] += dp[i - 1][k][p]
ans = 0
for j in row :ans += sum(dp[N - 1][j])  # 对最后一行求和，其中sum(dp[N - 1][j])是求最后一行的第j中合法状态的和
print(ans)

复杂度：4个for循环m

例题：回路计数

题目描述

蓝桥学院由 21​​​ 栋教学楼组成，教学楼编号 1​​ 到 21​​。对于两栋教学楼 a​​ 和 b​，当 a​ 和 b​ 互质时，a 和 b 之间有一条走廊直接相连，两个方向皆可通行，否则没有直接连接的走廊。

小蓝现在在第一栋教学楼，他想要访问每栋教学楼正好一次，最终回到第一栋教学楼（即走一条哈密尔顿回路），请问他有多少种不同的访问方案？

两个访问方案不同是指存在某个i，小蓝在两个访问方法中访问完教学楼 i 后访问了不同的教学楼。

提示：建议使用计算机编程解决问题。

答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

Hami lton问题

•  Hamilton问题是NP问题，没有多项式复杂度的解法。
• 暴力解法:枚举n个点的全排列。共n!个全排列，一个全排列就是一条路径。本题n=21,21! = 51,090,942,171,709,440,000
• 用状态压缩DP，复杂度下降为
• 参考:《算法竞赛》341页，或者csdn搜“罗勇军”找到“状态压缩DP”

状态压缩DP

• 路径起点是1，绕一圈回到1。
• 问题转化:1先到2~21中的某个点，然后再绕一圈回到1。
• 定义DP。设S是图的一个子集，用dp[S][j]表示“集合S内的Hamilton路径个数”, 即从起点1出发经过 S中所有点 ，到达 终点j 时的路径个数。
• 最后求所有的访问方案：累加所有的dp[X][2]~dp[X][21]。其中X = 1 << 22 - 2（-2是两个-1，-1是改造21个1，-1是把起点1置为0），X是除了点1以外的所有其他点。

哈密尔顿问题与DP

• 如何求dp[S][ ]?  从小问题S-j递推到大问题S。S - j 表示从集合S中去掉j，即不包含j点的集合。
• 如何从S-j递推到S?  设k是S-j中一个点，把从1到j的路径分为两部分: ( 1→...→k)+(k→j)。以k为变量枚举S-j中所有的点
• 状态转移方程: dp[S][j]+=dp[S-j][k]
• 代码：dp[S][j] += dp[S - (1<

from math import gcdm = 1 << 22
dp = [[0 for j in range(22)] for i in range(m)]
dist = [[False for j in range(22)] for i in range(22)]  # 记录联通关系
for i in range(1, 22):for j in range(1, 22):if gcd(i, j) == 1:  # 最小公因数为1，互质dist[i][j] = True
dp[2][1] = 1  # 初始化dp
for S in range(2, m - 1):   # 遍历所有集合Sfor j in range(1, 22):  # 从21个抽一个j出来if S >> j & 1:   # 集合S中包括jfor k in range(1, 22):if S - (1 << j) >> k & 1 and dist[k][j]:  # 集合S-j包括k，且k和j联通dp[S][j] += dp[S - (1 << j)][k]  # 累加S-j集合
ans = 0
for i in range(2, 22): ans += dp[m - 2][i]
print(ans)
# 881012367360