文章目录

• 1. 自组织
• • 1.1 概述
  • 1.2 原则
  • 1.3 历史
  • 1.4 按领域
  • • 1.4.1 物理
    • 1.4.2 化学
    • 1.4.3 生物学
    • 1.4.4 宇宙学
    • 1.4.5 计算机科学
    • 1.4.6 控制论
    • 1.4.7 社会学
    • 1.4.8 经济学
    • 1.4.9 运输
    • 1.4.10 语言学
    • 1.4.11 研究
  • 1.5 自发秩序（Spontaneous order）
  • • 1.5.1 历史
• 2. 自组织临界性
• • 2.1 概述
  • 2.2 特征
  • 2.3 模型
  • 2.4 自然界中的自组织临界
  • 2.5 自组织临界性和优化
  • 2.6 自组织临界性的控制
  • • 2.6.1 方案
    • 2.6.2 应用

1. 自组织

自组织，在社会科学中也称为自发秩序（spontaneous order），是一种过程，其中某种形式的整体秩序源于最初无序系统各部分之间的局部相互作用。当有足够的能量可用时，该过程可以是自发的，不需要任何外部因素的控制。它通常由看似随机的波动触发，并被正反馈放大。由此产生的组织是完全分散的，分布在系统的所有组件中。因此，组织通常是稳健的，能够生存或自我修复重大扰动。混沌理论根据混乱的不可预测性海洋中的可预测性孤岛来讨论自组织。

自组织发生在许多物理、化学、生物、机器人和认知系统中。自组织的例子包括结晶、流体的热对流、化学振荡、动物集群、神经回路和黑市。

1.1 概述

自组织是在非平衡过程的物理学和化学反应中实现的，在化学反应中它通常被描述为自组装（self-assembly）。从分子到生态系统水平，这一概念已被证明在生物学中是有用的。自组织行为的引用例子也出现在许多其他学科的文献中，包括自然科学和社会科学（如经济学或人类学）。在元胞自动机等数学系统中也观察到了自组织。自组织是涌现相关概念的一个例子。

自组织依赖于四个基本要素：

• 强动力学非线性，通常（但不一定）涉及正反馈和负反馈
• 开发与探索的平衡（balance of exploitation and exploration）
• 组件之间的多重交互
• 能量的可用性（克服熵的自然趋势，或自由能的损失）

自组织的概念与人的主观性有很大关系，首先自组织强调局部交互，但这种交互需要是一种不可人为轻易预测的交互，也就是说，之所以称为自组织而非全局目标，就是因为这种不可预测的性质，或者全局不可被描述预测的性质。另外一点就是最终系统呈现的有序状态，这种有序是人为定义的，跟人的尺度和角度有关。

1.2 原则

控制论者 William Ross Ashby 于 1947 年制定了自组织的原始原则。他指出，任何确定性动态系统都会自动朝着平衡状态演化，这种平衡状态可以用周围状态盆地中的吸引子来描述。一旦到达那里，系统的进一步发展就被限制在吸引子中。这种约束意味着其构成组件或子系统之间存在一种相互依赖或协调的形式。用 Ashby 的话来说，每个子系统都适应了所有其他子系统形成的环境。

控制论者 Heinz von Foerster 于 1960 年提出了“order from noise”原则。它指出，随机扰动（“噪声”）促进了自组织，让系统在其状态空间中探索各种状态。这增加了系统到达“强”或“深”吸引子盆地的机会，然后从那里迅速进入吸引子本身。生物物理学家 Henri Atlan 通过提出“来自噪声的复杂性”（法语：le principe de complexité par le bruit）原理发展了这一概念，首次出现在 1972 年的 L’organisation biologique et la théorie de l’information 然后在 1979 年的书中 Entre le cristal et la fumée。物理学家和化学家 Ilya Prigogine 制定了一个类似的原则，称为“涨落中的秩序（order through fluctuations）”或“混沌中的秩序（order out of chaos）”。它被应用于解决问题和机器学习的模拟退火方法。

1.3 历史

系统的动态可以导致其组织增加的想法由来已久。Democritus 和 Lucretius 等古代原子论者认为，设计智能（designing intelligence）对于在自然界中创造秩序是不必要的，他们认为只要有足够的时间、空间和物质，秩序就会自行出现。

哲学家 René Descartes 在其 1637 年的“Discourse on Method”的第五部分中假设性地提出了自组织。他在未发表的著作“The world”中详细阐述了这个想法。

Immanuel Kant 在他 1790 年的“Critique of Judgment”中使用了“自组织”一词，他在其中认为，只有存在这样一个实体，其部分或“器官”同时是目的和手段，目的论才是一个有意义的概念。这样一个器官系统必须能够表现得好像它有自己的思想，也就是说，它能够自我管理。

在这样一个自然产物中，每个部分都被认为是由于所有其余部分的作用而存在，并且也被认为是为了其他部分和整体而存在，即作为一种工具或器官… 该部分必须是一个产生其他部分的器官——因此，每个部分都相互产生其他部分……只有在这些条件下，这样的产品才能成为一个有组织和自组织的存在，并因此被称为物理结束（physical end）。

Sadi Carnot（1796-1832）和 Rudolf Clausius（1822-1888）在 19 世纪发现了热力学第二定律。它指出总熵，有时被理解为无序，在一个孤立的系统中总是会随着时间的推移而增加。这意味着如果没有外部关系会降低系统其他地方的秩序（例如，通过消耗电池的低熵能量和扩散高熵热），系统就不能自发地增加其秩序。

18 世纪的思想家试图理解“形式的普遍法则”，以解释观察到的生物体形式。这个想法与拉马克主义联系在一起并声名狼藉，直到 20 世纪初，D’Arcy Wentworth Thompson（1860-1948 年）试图复兴它。

精神病学家和工程师 W. Ross Ashby 于 1947 年将“自组织”一词引入当代科学。它被控制论学家 Heinz von Foerster、Gordon Pask、Stafford Beer 所采用；和 von Foerster 于 1960 年 6 月在伊利诺伊大学阿勒顿公园组织了一次关于“自组织原则”的会议，这导致了一系列关于自组织系统的会议。Norbert Wiener 在他的第二版《控制论：动物和机器中的控制与通信》（1961）中提出了这个想法。

自组织在 1960 年代与一般系统理论相关联，但直到物理学家 Hermann Haken 等人才在科学文献中变得司空见惯。 复杂系统研究人员从宇宙学、化学与耗散系统、生物学和社会学作为自创生到随后的 1980 年代（圣达菲研究所）和 1990 年代（复杂自适应系统）的系统思考中采用了它，直到 根状网络理论（rhizomatic network theory）深化了颠覆性新兴技术的时代。

2008-2009 年左右，引导自组织（guided self-organization）的概念开始形成。这种方法旨在为特定目的调节自组织，以便动态系统可以达到特定的吸引子或结果。该规则通过限制系统组件之间的本地交互来约束复杂系统内的自组织过程，而不是遵循明确的控制机制或全局设计蓝图。通过将独立于任务的全局目标与依赖于任务的局部交互约束相结合，可以实现预期的结果，例如内部结构和功能的增加。

1.4 按领域

1.4.1 物理

物理学中的许多自组织现象包括相变和自发对称性破缺，例如经典物理学中的自发磁化和晶体生长，以及激光和量子物理学中的超导和玻色-爱因斯坦凝聚。它存在于动力系统、摩擦学、自旋泡沫系统（spin foam system）、圈量子引力、河流盆地和三角洲、树枝状凝固（雪花）、毛细管吸收和湍流结构。

1.4.2 化学

化学中的自组织包括分子自组装（molecular self-assembly），反应扩散系统和振荡反应（oscillating reactions），自催化网络（autocatalytic networks），液晶，网格复合物（grid complexes），胶体晶体（colloidal crystals），自组装单分子层（self-assembled monolayers），胶束（micelles）、嵌段共聚物的微相分离（microphase separation of block copolymers）和 Langmuir–Blodgett film。

1.4.3 生物学

生物学中的自组织（Biological organisation）可以在蛋白质和其他生物大分子的自发折叠、脂质双层膜的自组装、发育生物学中的模式形成和形态发生、人类运动的协调、昆虫（蜜蜂、蚂蚁，白蚁），和哺乳动物，以及鸟类和鱼类的集群行为的社会行为中观察到。

数学生物学家 Stuart Kauffman 和其他结构主义者认为，自组织可能与自然选择一起在进化生物学的三个领域发挥作用，即种群动力学（population dynamics）、分子进化（molecular evolution）和形态发生（morphogenesis）。然而，这并没有考虑到能量在驱动细胞生化反应中的重要作用。任何细胞中的反应系统都是自催化的，但不仅仅是自组织的，因为它们是依赖于连续输入能量的热力学开放系统。自组织不是自然选择的替代品，但它限制了进化可以做什么，并提供了进化随后利用的机制，例如膜的自组装。

生命系统中秩序的演化和某些非生命系统中秩序的产生被提议遵循一个共同的基本原则，称为“达尔文动力学（the Darwinian dynamic）”，该原则首先考虑了如何在简单的非生命系统中产生微观秩序。远离热力学平衡的生物系统。然后将考虑扩展到短的、复制的 RNA 分子，这些分子被认为与 RNA 世界中最早的生命形式相似。结果表明，非生物系统和复制 RNA 中自组织的潜在顺序生成过程基本相似。

1.4.4 宇宙学

Lee Smolin 在他 1995 年的会议论文“Cosmology as a problem in critical phenomena”中说，一些宇宙学对象或现象，例如螺旋星系、一般星系形成过程、早期结构形成、量子引力和宇宙的大尺度结构可能是某种程度的自组织的结果或涉及某种程度的自组织。他认为，自组织系统通常是临界系统（critical systems），其结构在空间和时间上散布在每个可用的尺度上，例如 Per Bak 及其合作者所展示的那样。因此，由于宇宙中物质的分布在许多数量级上或多或少具有尺度不变性，自组织系统研究中发展起来的想法和策略可能有助于解决宇宙学和天体物理学中某些未解决的问题。

1.4.5 计算机科学

来自数学和计算机科学的现象，如元胞自动机（cellular automata）、随机图（random graphs），以及进化计算和人工生命的一些实例，都表现出自组织的特征。在群体机器人中，自组织用于产生突现行为（emergent behavior）。特别是随机图理论已被用作自组织作为复杂系统的一般原则的理由。在多主体系统领域，了解如何设计能够呈现自组织行为的系统是一个活跃的研究领域。优化算法可以被认为是自组织的，因为它们旨在找到问题的最佳解决方案。如果将解视为迭代系统的一种状态，则最优解是系统选择的收敛结构。自组织网络包括小世界网络、自稳定网络（self-stabilization networks）和无标度网络。这些来自自下而上的交互，不像组织内自上而下的层次网络，后者不是自组织的。云计算系统被认为本质上是自组织的，但是虽然它们有一定的自主权，但它们不是自我管理的，因为它们没有降低自身复杂性的目标。

1.4.6 控制论

Norbert Wiener 将黑箱（black box）的自动序列识别及其随后的复制视为控制论中的自组织。锁相的重要性或他所说的“频率的吸引力”在他的控制论的第二版中进行了讨论：或动物和机器中的控制和通信。K. Eric Drexler 将自我复制视为纳米和通用组装的关键步骤。相比之下，W. Ross Ashby 的 Homeostat 的四个同时连接的检流计在受到扰动时会收敛于许多可能的稳定状态之一。Ashby 使用他的多样性状态计数度量来描述稳定状态，并产生了“Good Regulator”定理，该定理需要内部模型来实现自组织耐力（endurance）和稳定性（例如（Nyquist stability criterion））。Warren McCulloch 提出“Redundancy of Potential Command”作为大脑和人类神经系统的组织特征以及自组织的必要条件。Heinz von Foerster 提出冗余（Redundancy），R=1−H/HmaxR=1 − H/H_{\mathrm{max}}R=1−H/Hmax​，其中 HHH 是熵。从本质上讲，这表明未使用的潜在通信带宽是自组织的衡量标准。

在 1970 年代，Stafford Beer 认为自组织对于持久和生命系统的自治是必要的。他将他的可行系统模型应用于管理。 它由五个部分组成：生存过程的性能监控 (1)、通过递归应用规则 (2) 进行管理、稳态操作控制 (3) 和在环境下产生身份维护 (5) 的发展 (4) 扰动。 注意力通过一个警示的“痛觉循环”反馈来优先排序：相对于标准能力，对因表现不佳或表现过度而产生的痛苦和快乐的敏感性。

在 1990 年代，Gordon Pask 认为 von Foerster 的 H 和 Hmax 不是独立的，而是通过他称之为概念的可数无限递归并发自旋过程相互作用。 他对概念“产生关系的程序”的严格定义允许他的定理“相似的概念相斥，不同的概念相吸”来陈述自组织的一般自旋原则。他的法令，排除原则，“没有二重身（There are No Doppelgangers）”意味着没有两个概念可以相同。经过足够长的时间后，所有概念都会吸引并合并为粉红噪音。该理论适用于所有组织上封闭或稳态的过程，这些过程产生持久和连贯的结果（products），这些结果可以进化、学习和适应。

1.4.7 社会学

群居动物的自组织行为和简单数学结构的自组织都表明，人类社会应该期待自组织。自组织的迹象通常是与自组织物理系统共享的统计特性。社会学、经济学、行为金融学和人类学中有大量的例子，如临界质量、从众行为、群体思维等。

在社会理论中，自指的概念作为自组织理论的社会学应用被 Niklas Luhmann (1984) 引入。对于 Luhmann 来说，社会系统的要素是自我生产的交流，即一种交流产生进一步的交流，因此只要存在动态交流，社会系统就可以自我复制。对于 Luhmann 来说，人类是系统环境中的传感器。Luhmann 使用函数分析和系统理论发展了社会及其子系统的进化理论。

1.4.8 经济学

市场经济有时被认为是自组织的。Paul Krugman 在他的“The Self Organizing Economy”一书中阐述了市场自组织在商业周期中的作用。Friedrich Hayek 创造了术语 catallaxy 来描述自由市场经济的自发秩序方面的“自愿合作的自组织系统”。新古典经济学家认为，实施中央计划通常会降低自组织经济体系的效率。另一方面，经济学家认为市场失灵非常严重，以至于自组织会产生不良结果，国家应该指导生产和定价。 大多数经济学家采取中间立场，推荐市场经济和计划经济特征的混合体（有时称为混合经济）。当应用于经济学时，自组织的概念很快就会在意识形态上变得深入人心。

1.4.9 运输

交通流中驾驶员的自组织行为几乎决定了交通的所有时空行为，如高速公路瓶颈处的交通堵塞、高速公路通行能力、移动交通拥堵的出现等。Boris Kerner 的三相交通理论解释了这些自组织效应。

1.4.10 语言学

随着个体和种群行为与生物进化的相互作用，秩序自发地出现在语言的进化中。

1.4.11 研究

自组织资金分配（Self-organized funding allocation，SOFA）是一种为科学研究分配资金的方法。在这个系统中，每个研究人员都被分配了等量的资金，并且需要匿名将他们资金的一小部分分配给其他人的研究。SOFA 的支持者认为，这将导致与目前的赠款系统类似的资金分配，但开销更少。2016年，SOFA的试行在荷兰开始。

1.5 自发秩序（Spontaneous order）

自发秩序，在硬科学（hard science）中也称为自组织，是从看似混乱中自发出现的秩序。“自组织”一词更多地用于物理变化和生物过程，而“自发秩序”通常用于描述人类社会网络中各种社会秩序的出现，这些社会秩序是由利己主义的组合行为产生的。不是有意尝试通过计划来创造秩序的个人。通过自发秩序或自组织进化的系统示例包括地球上生命的进化、语言、晶体结构、互联网、维基百科和自由市场经济。

自发秩序与组织不同，因为组织是无标度网络，而组织是分层网络。此外，组织可以（而且经常是）自发社会秩序的一部分，但反之则不然。虽然组织是由特定的个人或团体创建和控制的，但自发秩序是由没有特定的人创建和控制的。在经济学和社会科学中，自发秩序被定义为“人类行为的结果，而不是人类行为的结果 设计”。

在经济学中，自发秩序是利己个体之间最有可能进化和生存的一种均衡行为，服从“最可能生存”的自然选择过程。

1.5.1 历史

根据 Murray Rothbard 的说法，哲学家庄子（公元前 369-286 年）是第一个提出自发秩序思想的人。庄子反对儒家的威权主义，写道“有任人之事，未有治人之事”。他阐述了一种自发秩序的早期形式，断言“当事物不受干扰时，良好的秩序自然而然地产生”，这一概念后来“由蒲鲁东在 19 世纪特别发展”。

苏格兰启蒙运动的思想家们发展并探究了市场作为一种自发秩序的观念。 1767 年，社会学家和历史学家 Adam Ferguson 将社会描述为“人类行为的结果，而不是任何人类设计的执行”。

然而，“自发秩序”一词似乎是由 Michael Polanyi 在他的论文“社会中思想的成长”(The Growth of Thought in Society) 中创造的，

由 Carl Menger 、Ludwig von Mises 和 Friedrich Hayek 领导的奥地利经济学院将其作为其社会和经济思想的核心。Hayek 的自发秩序理论是两种相关但截然不同的影响的产物，这两种影响并不总是趋向于同一方向。作为一个经济理论家，他的解释可以得到理性的解释。但作为一名法律和社会理论家，相比之下，他非常倾向于保守和传统主义的方法，这种方法指示我们盲目地服从我们无法控制的一系列事件。

2. 自组织临界性

2.1 概述

自组织临界性（Self-organized criticality，SOC）是具有作为吸引子的临界点的动力系统的属性。因此，它们的宏观行为显示了相变临界点的空间或时间标度不变性特征，但无需将控制参数调整为精确值，因为系统在向临界点演化时，可以有效地自我调整。该理论认为，由大量相互作用成分组成的系统会自然地向自组织临界态发展；当系统达到自组织临界态时，即使小的干扰事件也可引起系统发生一系列灾变。

该概念由 Per Bak、Chao Tang 和 Kurt Wiesenfeld（“BTW”）在 1987 年发表于 Physical Review Letters 的论文中提出，被认为是自然中复杂性出现的机制之一。它的概念已应用于多个领域，如地球物理学、物理宇宙学、进化生物学和生态学、仿生计算和优化（数学）、经济学、量子引力、社会学、太阳物理学、等离子体物理学、神经生物学等。

自组织临界是指一个由大量个体组成的系统在输入的驱动下自组织达到临界态。虽然是一种临界状态，但它又与一般的临界状态不同。自临界组织不需要通过调节参数来逼近临界点。系统需要一个持续的外界输入。它的临界态的特性是在一个演化过程中表现出来的。自组织临界在学术界还没有一个准确的人们广泛采用的定义，发生自组织临界的必要条件也还不明确。但人们对于处在自组织临界的系统的属性已经具有了一定的深度认识。

它不同于协同学中的自组织理论，协同学中的自组织理论将带有多自由度的，非线性动力学问题简化为低维问题，自组织临界只能根据时空标度变换来描述非线性动力学问题。其次，从空间来看，自组织临界相当于一个亚稳定的有限维动力学吸引子。

SOC 通常在具有许多自由度和强非线性动力学的缓慢驱动的非平衡系统中观察到。自 BTW 的原始论文以来，已经确定了许多单独的示例，但迄今为止，还没有一组已知的通用标准来保证系统将显示 SOC。

自组织临界性是 20 世纪下半叶统计物理学和相关领域的众多重要发现之一，这些发现尤其与自然界的复杂性研究有关。例如，从 Stanislaw Ulam 和 John von Neumann 的早期发现到 John Conway 的生命游戏以及 Stephen Wolfram 的大量工作，对元胞自动机的研究清楚地表明，通过简单的局部交互，复杂性可以作为扩展系统的新特性而产生。在相近的时期内，Benoit Mandelbrot 关于分形的大量工作表明，自然界中的许多复杂性都可以用某些普遍存在的数学定律来描述，而在 1960 年代和 70 年代对相变的广泛研究表明，标度不变现象，如分形和幂律如何出现在不同相之间的临界点。

Bak、Tang 和 Wiesenfeld 1987 年的论文首次引入了自组织临界性一词，该论文清楚地将这些因素联系在一起：一个简单的元胞自动机被证明可以产生在自然复杂性中观察到的几个特征（分形几何，粉红色 (1/f) 噪声和幂律）以一种可以与临界点现象联系起来的方式。然而，至关重要的是，该论文强调观察到的复杂性以稳健的方式出现，不依赖于系统的微调细节：模型中的可变参数可以在不影响关键行为出现的情况下广泛改变——自组织临界性。因此，BTW论文的关键结果是发现了一种机制，通过这种机制，简单的局部相互作用产生的复杂性可能是自发的，因此可能是自然复杂性的来源，而不是仅在控制参数调整到精确临界值的人为情况下才可能出现的东西。另一种观点是，当临界性与控制参数的零值相关联时，SOC 就会出现。

BTW 做过一个内涵深刻的研究：他们让沙子一粒一粒落在桌上，形成逐渐增高的一小堆，借助计算机模拟精确地计算每在沙堆顶部落置一粒沙会连带多少沙粒移动；初始阶段，落下的沙粒对沙堆整体影响很小； 然而当沙堆增高到一定程度，落下一粒沙却可能导致整个沙堆发生坍塌。

他们由此提出一种“自组织临界”（self-organized criticality）的理论；沙堆一达到“临界”状态，每粒沙与其他沙粒就处于“一体性”接触， 那时每粒新落下的沙都会产生一种 “力波”，尽管微细，却有可能贯穿沙堆整体，把碰撞次第传给所有沙粒，导致沙堆发生整体性的连锁改变或重新组合；沙堆的结构将随每粒新沙落下而变得脆弱，最终发生结构性失衡——坍塌。临界态时，沙崩规模的大小与其出现的频率呈幂函数关系。

尽管 SOC 假说产生了相当大的兴趣和研究成果，但对其抽象数学形式的机制仍未达成普遍共识。Bak Tang 和 Wiesenfeld 基于他们的沙堆模型的行为做出他们的假设。

2.2 特征

所谓“自组织”是指该状态的形成主要是由系统内部组织间的相互作用产生，而不是由任何外界因素控制或主导所致。所谓“临界态”是指系统处于一种特殊敏感状态，微小的局部变化可以不断放大、扩延至整个系统。也就是说，系统在临界态时，其所有组份的行为都相互关联。临界态概念与“相变”（phase transition）密切联系；相变是由量变到质变的过程，而临界态正是系统转变时刻的特征。

因为在临界态时，系统内事件大小与其频率之间是幂函数关系，这时系统不存在特征尺度（characteristic scales）；也就是说，事件发生在所有尺度上，或与尺度无关（即 f(x)f(x)f(x) 的相对变化与 xxx 无关）。Bak 等还把自组织临界态与分形结构联系在一起，并毫不含糊地指出分形结构是自组织临界态在空间上的“指纹”。Bak 等认为，自组织临界理论可以解释诸如地震、交通阻塞、金融市场、生物进化和物种绝灭过程、以及生态系统动态诸现象。与混沌行为不同，自组织临界态是一个吸引域（attractor），即使改变初始条件，系统最终都会达到这一临界态。

总的来说，自组织临界除了具备平衡系统临界点的特征外，还具有以下特征：

• 无标度性
  自临界现象的本质是关联长度的发散，具体来说就是很小的扰动也会引起系统全方位的响应，进而引起系统的无标度特性。
• 幂律分布
  自临界组织一个十分有利的证据和客观的表现形式就是幂律分布。系统在空间和时间上都出现幂律分布时才能认为系统达到了临界态。自临界组织中比较常见的两种表现形式是灾变事件和幂律分布。当灾变事件的出现具有幂律特征时我们就不能够忽视大灾难发生的概率。
• 开放系统
  开放系统是和外界不断交换能量的系统。如果系统与外界不存在能量交换，则系统最终只会出现有序或无序着两种状态之一，而不会有自组织临界这样的复杂演变发生。
• 鲁棒性
  “鲁棒性”是指控制系统在一定（结构，大小）的参数变动下，维持系统某些性能的特性。自组织临界的临界态不能根据系统参数和外界输入进行控制，而是具有一定的鲁棒性，这是自组织临界理论的又一个特征。
  在沙堆实验中，在达到临界状态之后，我们改用湿沙，由于湿沙的摩擦力较大，在较短的时间内只会出现小范围的崩塌，但崩塌会随着陡坡的增大范围逐渐增大，最终还是会回到发生大崩塌的临界状态，从以上可以看出，虽然我们尝试者通过改变某些条件使系统远离临界态，但最终系统还是会自动过渡到另一个临界态。
• 动态系统
  只有不断变化的的动态系统才会有自临界组织，自临界组织可以用间隙方程（gap equation）描述其演化过程。

2.3 模型

按发展时间顺序：

• Stick-slip model of fault failure
• Bak–Tang–Wiesenfeld sandpile
• Forest-fire model
• Olami–Feder–Christensen model
• Bak–Sneppen model

早期的理论工作包括开发多种不同于 BTW 模型的替代 SOC-generating dynamics，尝试通过分析证明模型属性（包括计算临界指数），以及检查 SOC 产生的必要条件。后一项研究的一个重要问题是，在模型的局部动力交换中是否需要能量守恒：答案一般是否定的，但有（轻微的）保留，因为某些交换动力学（exchange dynamics，如 BTW 的交换动力学）至少在平均上需要局部守恒。

有人认为这个模型实际上会产生 1/f21/f^{2}1/f2 噪声而不是 1/f1/f1/f 噪声。这种说法是基于未经检验的比例假设，更严格的分析表明，沙堆模型通常产生 1/fa1/f^{a}1/fa 频谱，其中 a<2a<2a<2。后来提出了其他可以产生真正的 1/f1/f1/f 噪声的仿真模型。

除了上面提到的非保守理论模型，SOC 的其他理论模型基于信息论，平均场论，随机变量的收敛，和集群形成。利用 tropical geometry 提出了自组织临界的连续模型。

尚待解决的关键理论问题包括计算 SOC 行为的可能普遍性类别，以及是否有可能推导出用于确定任意算法是否显示 SOC 的一般规则的问题。

2.4 自然界中的自组织临界

SOC 已成为解释许多自然现象的有力候选者，包括：

• 地震震级（Gutenberg–Richter law）和余震频率（Omori law）；
• 金融市场等经济系统的波动（对 SOC 的引用在经济物理学中很常见）；
• 蛋白质的进化；
• 森林火灾；
• 皮质中的神经元雪崩；
• 压裂材料的声发射（Acoustic emission）。

尽管 SOC 在理解自然现象方面有众多应用，但 SOC 理论的普适性一直受到质疑。例如，用真实的大米堆进行的实验表明，它们的动力学对参数的敏感程度远比最初预测的要高。此外，有人认为 EEG 记录中的 1/f1/f1/f 缩放比例与临界状态不一致，而 SOC 是否是神经系统的基本属性仍然是一个开放且有争议的话题。

2.5 自组织临界性和优化

已经发现，来自 SOC 过程的雪崩在随机搜索图上的最优解时形成了有效模式。这种优化问题的一个例子是图形着色。SOC 过程显然有助于优化在不使用任何退火方案的情况下陷入局部最优，正如之前关于极值优化的工作所建议的那样。

2.6 自组织临界性的控制

在应用物理学中，控制自组织临界性（controlling self-organized criticality）的概念是指控制自组织系统耗散能量的过程。控制的目的是降低自组织系统能量耗散突发（通常称为雪崩（avalanches））发生的可能性和大小。将自组织临界系统中的能量耗散到较低能量状态对社会来说可能代价高昂，因为它取决于通常遵循某种幂律分布的各种规模的雪崩，而大雪崩可能具有破坏性和破坏性。

2.6.1 方案

已经提出了几种策略来处理控制自组织临界性的问题：

• 受控雪崩的设计。 Daniel O. Cajueiro 和 Roberto F. S. Andrade 表明，如果在系统中外部触发精心设计的小型和中型雪崩，系统的能量释放方式会导致大型雪崩更为罕见；
• 修改雪崩传播的网络的相互依赖程度。Charles D. Brummitt、Raissa M. D’Souza 和 E. A. Leicht 表明，复杂网络上自组织关键系统的动态取决于复杂网络的连通性。他们发现，虽然某些连通性是有益的（因为它抑制了系统中最大的级联），但过多的连通性为非常大的级联的发展提供了空间，并增加了系统容量的大小。
• 自组织系统沉积过程的改进。Pierre-Andre Noel、Charles D. Brummitt 和 Raissa M. D’Souza 表明，可以通过修改自组织系统的自然沉积过程来调整雪崩开始的位置来控制自组织系统。
• 动态修改级联故障的本地阈值。在输电网络模型中，Heiko Hoffmann 和 David W. Payton 证明了随机升级线路（有点像预防性维护）或将断线升级到随机断线阈值会抑制自组织临界性。显然，这些策略破坏了大型关键集群的自组织。 在这里，关键集群是接近故障阈值的传输线的集合，一旦被触发就会完全崩溃。

2.6.2 应用

在自然界或社会中发生的一些事件中，这些控制思想可能有助于避免这些事件：

• 由水坝和水库系统或相互连接的山谷引起的洪水。
• 在雪山中发生的雪崩。
• 易受闪电或火柴照明影响的地区发生森林火灾。
• 电网中发生的级联式减载（一种停电）。OPA 模型用于研究临界控制的不同技术。
• 互联网交换结构中的级联故障。
• 缺血级联反应，在供血不足的时刻释放毒素的一系列生化反应。
• 金融系统的系统性风险。
• 核能系统游览。
• 地震和诱发地震活动。

电力传输和金融部门的故障级联发生是因为经济力量导致这些系统在临界点附近运行，在临界点附近可能发生不确定大小的雪崩。

• 参考文献

wiki: Self-organization

wiki: Self-organized criticality

wiki: Self-organized criticality control

百度百科: 自组织临界

【分形与混沌11】当数学家遇见沙堆——自组织临界是什么？

wiki: Self-organization in cybernetics

wiki: Spontaneous order

Bak P, Tang C, Wiesenfeld K (July 1987). “Self-organized criticality: An explanation of the 1/f noise”. Physical Review Letters. 59 (4): 381–384.