电子科技大学人工智能期末复习笔记(三):一阶逻辑
创始人
2024-05-26 00:37:31
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目录

前言

逻辑基础

命题的定义

命题的真值

原子公式

连词和量词

合式公式的真值表

等价关系

永真蕴含式

置换与合一 

消解原理 

鲁滨逊归结原理

总结

例题


前言

本复习笔记基于李晶晶老师的课堂PPT与复习大纲,供自己期末复习与学弟学妹参考用。


逻辑基础

命题的定义

断言:一个陈述句称为一个断言(assertion)

命题:具有真假意义的断言

命题的真值

  • T:命题的意义为真
  • F:命题的意义为假
注意:
  • 一个命题不能同时为真和假
  • 一个命题可以在某些条件下为真,某些条件下为假

原子公式

原子公式:谓词符号和若干组成的谓词演算,是谓词演算基本积木块

项包括: 常量符号、变量符号、函数符号等。 定义原子公式为真值或假值就表示了某种语义(semantics) t1 , t2 , …, tn是项,P是谓词,则称P(t1 ,t2 ,…,tn )原子谓词公式(原子公 式) 无变量的原子公式取值确定,包含变量的原子公式取值不定。 举例: “机器人(ROBOT)在1号房间(room1)内” INROOMROBOTroom1)为真 INROOMROBOTroom2)为假

连词和量词

  • 1. 与、合取(conjunction):用连词把几个公式连接起来而构成的公式。
    • 合取项合取式的每个组成部分。
    • 例:LIKE(IMUSIC)LIKE(IPAINTING)
    • (我喜爱音乐和绘画。)
  • 2. 或、析取(disjunction:用连词把几个公式连接起来而构成的公式。
    • 析取项析取式的每个组成部。
    • 例:PLAYS(LILIBASKETBALL)PLAYS(LILIFOOTBALL)
    • (李力打篮球或踢足球。)
  • 3. 蕴涵Implication:“→”表示“如果那么”(IF—THEN)关系,其所构成的公式叫做蕴涵
  • 4. Not)表示否定,¬~均可表示
  • 连词的优先级 :
  • ¬, , (\exists, \forall) , →, ↔

合式公式的真值表


等价关系

等价(Equivalence): 如果两个合式公式,无论如何解释,其真值表都是相同的,那么我们就称此两合式公式是等价的。

注意:(10)说明在一个量化的表达式中的约束变量是一类虚元,它可用任何一个不在表达式中出现过的其他变量符号来代替


永真蕴含式


置换与合一 

置换定义:置换是形如{t1 /x1 ,t2 /x2 ,…,tn /xn }的有限集合,其中t1 ,t2 ,…,tn是项;x1 ,x2 ,…,xn 是互不相同的变元;ti /xi 表示用项ti 替换变元xi 。

要求:ti与xi 不能相同,xi 不能循环地出现在另一个ti 中。

例如:{a/x, c/y, f(b)/z} 是一个置换, 但 {g(z)/x, f(x)/z}不是一个置换,原因是x和z之间出现了循环置换现象,若改为{g(a)/x, f(x)/z}即可

设θ={t1 /x1 ,t2 /x2 ,…,tn /xn }是一个置换,F是一个谓词公式, 把公式F中出现的所有xi 换成ti(i=1,2,…,n),得到一个新的公式G, 称G为F在置换θ 下的例示,记作G=Fθ

置换的合成(了解)

 合一定义:设有公式集F={F1 , F2 ,…,Fn },若存在一个置换θ,可使 F1θ=F2θ=…=Fnθ, 则称θ是F的一个合一。称F1 ,F2 ,…,Fn是可合一的。

例:

设有公式集F={P(x, y, f(y)), P(a, g(x), z)},则 λ={a/x, g(a)/y, f(g(a))/z} 是它的一个合一。

一般情况下,一个公式集的合一不惟一

最一般合一:设σ是谓词公式集F的一个合一,如果对F的任意一个合一θ都存在一个置换λ,使得 θ= σ· λ,则称σ是一个最一 般(或最简单)合一


消解原理 

消解: 对谓词演算公式进行分解、化简,消去一些符号, 以求得导出 ,又称归结消解原理          (1) 一种用于子句公式集的重要推理规则          (2) 子句是由文字的析取组成的公式          (3) 一个原子公式、原子公式的否定叫作文字 注意: 不含任何文字的子句称为空子句 子句、空子句所构成的集合称为子句集 消解过程:消解规则应用于母体子句对, 以便产生导出子句 举例:{ E1E2 , E2E3 } 消解导出 E1E3

归结的方法:鲁滨逊归结原理


鲁滨逊归结原理

核心:两个子句的归结式、

定义1:若P是原子谓词公式,则称P与﹁P为互补文字

定义2:设C1和C2是子句集中的任意两个子句,如果C1中的文字L1与C2中的文字L2互补,那么可从C1和C2中分别消去L1和L2,并将C1和C2中余下的部分按析取关系构成一个新的子句C12,则称这一过程为归结,称C12为C1和C2的归结式,称C1和C2为C12的亲本(父辈)子句


总结

9步法求取子句集

  • (1)消去蕴涵符号
  • (2)缩小否定符号的辖域(狄·摩根定律)
  • (3)变量标准化(哑元唯一)
  • (4)消去存在量词()
  • (5)化为前束形
  • (6)化为合取范式(∧)
  • (7)消去全称量词()
  • (8)消去连词符号(∧)
  • (9)更换变量名(同一变量名不出现在一个以上子句)

例题

解:

 

  • 由①和⑦,用zhang置换x     ~Pass(zhang, computer)∨~Win(zℎang,prize)   ⑧
  • 由③和⑤,用zhang置换u Pass(zhang, v) ⑨
  • 由⑧和⑨,用computer置换v ~Win(zhang, prize)   ⑩
  • 由⑥和⑩,用zhang置换w ~Lucky(zhang)  (11)
  • 由⑤和11可得空子句NIL,所以结论成立,消解树如上图所示。 

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