一阶线性微分方程的形式如下：

y′+p(x)y=q(x)y'+p(x)y=q(x)y′+p(x)y=q(x)

对于式子左侧，长得像下式，但不太一样

(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'(uv)′=u′v+uv′

y′⋅1+y⋅p(x)y' ·1+y ·p(x)y′⋅1+y⋅p(x)

这里对应vvv看似得不到一个合适的，但是借助[ef(x)]′=ef(x)⋅f′(x)[e^{f(x)}]'=e^{f(x)}·f'(x)[ef(x)]′=ef(x)⋅f′(x)可以发现能构造出类似的，即下式

y′⋅e∫p(x)dx+y⋅e∫p(x)dx⋅p(x)y'·e^{\int p(x)dx}+y·e^{\int p(x)dx}·p(x)y′⋅e∫p(x)dx+y⋅e∫p(x)dx⋅p(x)

提出相同系数：

e∫p(x)dx⋅[y′⋅1+y⋅p(x)]e^{\int p(x)dx}·[y'·1+y·p(x)]e∫p(x)dx⋅[y′⋅1+y⋅p(x)]

原式等号右侧增补相同系数可得到式子整体（待化简）

e∫p(x)dx⋅[y′⋅1+y⋅p(x)]=e∫p(x)dx⋅q(x)e^{\int p(x)dx}·[y'·1+y·p(x)]=e^{\int p(x)dx}·q(x)e∫p(x)dx⋅[y′⋅1+y⋅p(x)]=e∫p(x)dx⋅q(x)

于是化简得到：

[y⋅e∫p(x)dx]′=e∫p(x)dx⋅q(x)[y·e^{\int p(x)dx}]'=e^{\int p(x)dx}·q(x)[y⋅e∫p(x)dx]′=e∫p(x)dx⋅q(x)

左侧是求导，给积回去，右侧得添积分号：

y⋅e∫p(x)dx=∫e∫p(x)dx⋅q(x)dx+Cy·e^{\int p(x)dx}=\int {e^{\int p(x)dx}·q(x)dx + C}y⋅e∫p(x)dx=∫e∫p(x)dx⋅q(x)dx+C

将y系数化为1得最终结论通解公式：

y=e−∫p(x)dx⋅∫e∫p(x)dx⋅q(x)dx+Cy= e^{-\int p(x)dx}·\int {e^{\int p(x)dx}·q(x)dx + C}y=e−∫p(x)dx⋅∫e∫p(x)dx⋅q(x)dx+C

且通解就是全部解