高等数学笔记(下)
向量代数与空间解析几何
方向角
一个向量v⃗=(x,y,z)\vec v=(x,y,z)v=(x,y,z)和各个坐标轴的夹角叫做方向角，记作α,β,γ\alpha,\beta,\gammaα,β,γ，余弦叫做方向余弦.
取x轴的单位向量x⃗=(1,0,0)，则v⃗x⃗=∣v⃗∣∣x⃗∣cos
二维空间坐标轴被分成4个象限，三维空间坐标轴被分成8个卦限。(太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦)
平面的表示
- 点法式：因为空间中过一个点只能且只能作一个平面垂直于已知直线，因此空间中通过一个点和一个非零向量，可以唯一确定一个平面。使用点法式可以得到平面方程方程：
给定一个点M0=(x0,y0,z0)M_0=(x_0,y_0,z_0)M0=(x0,y0,z0)和非零向量n⃗=(A,B,C)\vec n=(A,B,C)n=(A,B,C)，则对于平面上的任意一点M=(x,y,z)M=(x,y,z)M=(x,y,z)，都满足M0M→=(x−x0,y−y0,z−z0)\overrightarrow{M_0M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)M0M=(x−x0,y−y0,z−z0)，都有
M0M→⋅n⃗=0，即A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0\overrightarrow{M_0M}\cdot\vec n=0，即A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0M0M⋅n=0，即A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0 - 平面一般方程：Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0，其法向量为n⃗=(A,B,C)\vec n=(A,B,C)n=(A,B,C). 法向量的说明，任取平面上两点M0=(x0,y0,z0)M_0=(x_0,y_0,z_0)M0=(x0,y0,z0)和M1=(x1,y1,z1)M_1=(x_1,y_1,z_1)M1=(x1,y1,z1)，有
- {Ax0+By0+Cz0+D=0Ax1+By1+Cz1+D=0⟹A(x0−x1)+B(y0−y1)+C(z0−z1)=0即M0M1→⋅n⃗=0\begin{cases}Ax_0+By_0+Cz_0+D=0\\Ax_1+By_1+Cz_1+D=0\end{cases}\\ \implies A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)=0\\ 即\overrightarrow{M_0M_1}\cdot \vec n=0 {Ax0+By0+Cz0+D=0Ax1+By1+Cz1+D=0⟹A(x0−x1)+B(y0−y1)+C(z0−z1)=0即M0M1⋅n=0
直线的表示
- 空间直线可以看做是两个空间平面的交线，空间直线的一般方程组可以表示为
{Ax1+By1+Cz1+D1=0Ax2+By2+Cz2+D2=0\begin{cases} Ax_1+By_1+Cz_1+D_1=0\\ Ax_2+By_2+Cz_2+D_2=0\\ \end{cases} {Ax1+By1+Cz1+D1=0Ax2+By2+Cz2+D2=0 - 如果一个非零向量平行于一条直线，则这个向量就叫做直线的方向向量。当直线上一点M0=(x0,y0,z0)M_0=(x_0,y_0,z_0)M0=(x0,y0,z0)和方向向量n⃗=(m,n,p)\vec n=(m,n,p)n=(m,n,p)确定后，一条直线就确定了。可以通过以下方程来确定：
x−x0m=y−y0n=z−z0p\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} mx−x0=ny−y0=pz−z0
这个方程叫做点向式方程或者对称式方程。 - 如果对称是方程中的比值为ttt，则有
{x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt\begin{cases} x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt \end{cases} ⎩⎨⎧x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt
这个就是直线的参数式方程。
一条直线的各种类型的方程，表示都不是唯一的。对于直线的一般方程组，各种表示的关系是围绕直线旋转过程中的两个不重合平面。给定一条直线和一个平面的法向量，则这个平面就是唯一的，因为法向量确定了平面旋转的角度；对于直线的点向式和参数式方程，方向向量无穷多个，但是都是平行的，但是点可以在直线上任意取。
两者的相互转换：1)点向式->一般式：点向式已知一个点和方向向量，可以从向量上再求取一点，然后直线外任取一点，可以得到平面方程，以此类推，可以得到另一平面方程，两者联立即是一般式方程2)一般式->点向式：三个自由变量，两个方程，求解可以得到一个方向向量，指定一个维度，可以得到一个点，即可确定点向式方程。
平面是通过点法式定义的，实际上是通过计算和M0M_0M0的相对位置，将平面平移到了过原点的位置。通过法向量来定义，在矩阵理论里对应的是零空间。即对于法向量n⃗\vec nn和平面上任意一点M=(x,y,z)M=(x,y,z)M=(x,y,z)和固定点M0=(x0,y0,z0)M_0=(x_0,y_0,z_0)M0=(x0,y0,z0)，有An⃗=0⃗A\vec n=\vec 0An=0，其中A只有一列,A=[x−x0,y−y0,z−z0]TA=[x-x_0,y-y_0,z-z_0]^TA=[x−x0,y−y0,z−z0]T，也就是平面的方程是A的0空间。但是普通平面不一定过0点，但是零空间一定是过了零点的，但是这个方程直接得到了任意平面的方程。愿意实际上是由于A中通过−x0,−y0,−z0-x_0,-y_0,-z_0−x0,−y0,−z0将平面作了平移，平移到了原点。实际平面也可以通过点向式定义，这种情况下对应的解释是平面是两个线性无关的向量v1,v2v_1,v_2v1,v2的生成空间Span{v1,v2}，即u=av1+bv2Span\{v_1,v_2\}，即u=av_1+bv_2Span{v1,v2}，即u=av1+bv2
{x−x0=a(x1−x0)+b(x2−x0)y−y0=a(y1−y0)+b(y2−y0)z−z0=a(z1−z0)+b(z2−z0)\begin{cases} x-x_0=a(x_1-x_0)+b(x_2-x_0)\\ y-y_0=a(y_1-y_0)+b(y_2-y_0)\\ z-z_0=a(z_1-z_0)+b(z_2-z_0)\\ \end{cases} ⎩⎨⎧x−x0=a(x1−x0)+b(x2−x0)y−y0=a(y1−y0)+b(y2−y0)z−z0=a(z1−z0)+b(z2−z0)
方程首先通过−x0-x_0−x0等将平面平移到了过原点的平面。方程中有a,ba,ba,b两个未知数，x,y,zx,y,zx,y,z三个自由变量，可以消去a,ba,ba,b两个变量，同时得到x,y,zx,y,zx,y,z的关系。只是求解比较复杂一些，可以使用sympy求得通解。以上也可以认为是平面的参数方程。
直线是通过点向式来定义的，是不是也能通过点法式定义？
无穷级数
定义
一般的，如果给定一个数列u1,u2,u3,...un,...,u_1, u_2, u_3, ... u_n, ... ,u1,u2,u3,...un,...,，那么由这个梳理构成的表达式u1+u2+u3+...+un+...u_1+u_2+u_3+...+u_n+...u1+u2+u3+...+un+...叫做(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记作∑i=1∞ui\sum\limits_{i=1}^{\infin}u_ii=1∑∞ui，其中第n项叫做级数的一般项。取前n项求和，得到sn=∑i=1nuns_n=\sum\limits_{i=1}^nu_nsn=i=1∑nun，叫做级数的部分和。
如果级数∑i=1∞ui\sum\limits_{i=1}^{\infin}u_ii=1∑∞ui的部分和数列{sn}\{s_n\}{sn}有极限sss，称无穷级数∑i=1∞ui\sum\limits_{i=1}^{\infin}u_ii=1∑∞ui收敛，这时s叫做级数的和。如果{sn}\{s_n\}{sn}不收敛，则称无穷级数∑i=1∞ui\sum\limits_{i=1}^{\infin}u_ii=1∑∞ui发散。
当级数收敛时rn=s−snr_n=s-s_nrn=s−sn叫做级数的余项。
性质
性质1：如果级数∑i=1∞ui\sum\limits_{i=1}^{\infin}u_ii=1∑∞ui收敛于和s，那么级数∑i=1∞kui\sum\limits_{i=1}^{\infin}ku_ii=1∑∞kui收敛于ksksks.
证明：设∑i=1∞ui\sum\limits_{i=1}^{\infin}u_ii=1∑∞ui与∑i=1∞kui\sum\limits_{i=1}^{\infin}ku_ii=1∑∞kui的部分和分别是sns_nsn和σn\sigma_nσn，根据定义，有limn→∞sn=s\lim\limits_{n\to\infin}s_n=sn→∞limsn=s，σn=ku1+ku2+....=k(u1+u2+...)=ksn\sigma_n=ku_1+k_u2+....=k(u_1+u_2+...)=ks_nσn=ku1+ku2+....=k(u1+u2+...)=ksn，∴limn→∞∑i=1∞kui=ks\therefore \lim\limits_{n\to\infin}\sum\limits_{i=1}^{\infin}ku_i=ks∴n→∞limi=1∑∞kui=ks
推论：级数的每一项乘以一个不为零的常数(可以不同)之后，级数的收敛性不变。(证明可以通过定义和夹逼定理，取常数中的最大值和最小值进行逼近)。
性质2：如果级数∑i=1∞ui\sum\limits_{i=1}^{\infin}u_ii=1∑∞ui和∑i=1∞vi\sum\limits_{i=1}^{\infin}v_ii=1∑∞vi分别收敛于sss和σ\sigmaσ，则级数∑i=1∞(ui±vi)\sum\limits_{i=1}^{\infin}(u_i\pm v_i)i=1∑∞(ui±vi)收敛于s±σs\pm\sigmas±σ. 根据定义，结合极限的性质，容易证明。
性质3：在级数中增加、减少或者改变有限项，不会改变级数的收敛性。
性质4：如果级数收敛，那么对这个级数的任意项加括号之后组成的新级数，仍然收敛，且其和不变。(加括号之后收敛，之前不一定收敛，比如(1±1),(1±1))
性质5：级数收敛的必要条件：如果级数∑i=n∞un\sum\limits_{i=n}^{\infin}u_ni=n∑∞un收敛，那么它的一般项unu_nun趋于0.
证明：设级数的部分和为sns_nsn，则limn→∞sn=s\lim\limits_{n\to\infin}s_n=sn→∞limsn=s,limn→∞un=limn→∞sn−limn→∞sn−1=s−s=0\lim\limits_{n\to\infin}u_n=\lim\limits_{n\to\infin}s_n-\lim\limits_{n\to\infin}s_{n-1}=s-s=0n→∞limun=n→∞limsn−n→∞limsn−1=s−s=0
问题：讨论级数∑n=1∞un=∑n=1∞nα\sum\limits_{n=1}^{\infin}u_n=\sum\limits_{n=1}^{\infin}n^\alphan=1∑∞un=n=1∑∞nα何时收敛。
当α≥0\alpha\ge0α≥0，un>1u_n>1un>1，此时，部分和sns_nsn发散，此时级数必然发散。
当α<−1\alpha<-1α<−1，∣un+1+un+2+...un+p∣=∣(n+1)α+(n+2)α+...+(n+p)α∣<∣p(n+1)α∣|u_{n+1}+u_{n+2}+...u_{n+p}|=|(n+1)^\alpha+(n+2)^\alpha+...+(n+p)^\alpha|<|p(n+1)^\alpha|∣un+1+un+2+...un+p∣=∣(n+1)α+(n+2)α+...+(n+p)α∣<∣p(n+1)α∣，根据柯西审敛定理，对于任意小的正数ϵ\epsilonϵ,都有∣p(n+1)α∣<ϵ|p(n+1)^\alpha|<\epsilon∣p(n+1)α∣<ϵ，只需要n>(ϵp)1α−1n>(\frac{\epsilon}{p})^\frac{1}{\alpha}-1n>(pϵ)α1−1
当α=−1时\alpha=-1时α=−1时，级数发散；
当α∈(−1,0)\alpha \in(-1,0)α∈(−1,0)，其每一项都比α=−1\alpha=-1α=−1时要大，故发散。
- 柯西审敛定理
- 级数∑i=1∞ui\sum\limits_{i=1}^{\infin}u_ii=1∑∞ui收敛的充分必要条件是对于任意给定的正整数ϵ\epsilonϵ，总存在正整数N，使得当n>Nn>Nn>N时，对于任意正整数p都有
∣∑i=1pun+i∣<ϵ|\sum_{i=1}^pu_{n+i}|<\epsilon∣i=1∑pun+i∣<ϵ
正项级数审敛法
定理1：正项级数∑n=1∞un\sum\limits_{n=1}^{\infin}u_nn=1∑∞un收敛的充分必要条件是，它的部分和数列{s_n}有界。注意是正项级数。
定理2：比较审敛法：
设级数∑i=n∞un\sum\limits_{i=n}^{\infin}u_ni=n∑∞un和∑i=n∞vn\sum\limits_{i=n}^{\infin}v_ni=n∑∞vn都是正项级数，且un≤vn(n=1,2,...)u_n\le v_n(n=1, 2,...)un≤vn(n=1,2,...)，若级数∑i=n∞vn\sum\limits_{i=n}^{\infin}v_ni=n∑∞vn收敛，则级数∑i=n∞un\sum\limits_{i=n}^{\infin}u_ni=n∑∞un也收敛；若∑i=n∞un\sum\limits_{i=n}^{\infin}u_ni=n∑∞un发散，则∑i=n∞vn\sum\limits_{i=n}^{\infin}v_ni=n∑∞vn也发散。
定理3：比较审敛法的极限形式
设级数∑i=n∞un\sum\limits_{i=n}^{\infin}u_ni=n∑∞un和∑i=n∞vn\sum\limits_{i=n}^{\infin}v_ni=n∑∞vn都是正项级数，
(1)如果limn→∞unvn=l(0≤l<+∞)\lim\limits_{n\to\infin}\frac{u_n}{v_n}=l(0\le l<+\infin)n→∞limvnun=l(0≤l<+∞)，且级数∑i=n∞vn\sum\limits_{i=n}^{\infin}v_ni=n∑∞vn收敛，那么级数∑i=n∞un\sum\limits_{i=n}^{\infin}u_ni=n∑∞un也收敛；
(2)如果limn→∞unvn=l(l>0)\lim\limits_{n\to\infin}\frac{u_n}{v_n}=l(l>0)n→∞limvnun=l(l>0)，且级数∑i=n∞vn\sum\limits_{i=n}^{\infin}v_ni=n∑∞vn发散，那么级数∑i=n∞un\sum\limits_{i=n}^{\infin}u_ni=n∑∞un也发散；
这个定理的一个直观理解是，如果对于级数的每一项，unu_nun和vnv_nvn是同阶或者更高阶，无穷小。∑i=n∞vn收敛⟹∑i=n∞un收敛\sum\limits_{i=n}^{\infin}v_n收敛\implies \sum\limits_{i=n}^{\infin}u_n收敛i=n∑∞vn收敛⟹i=n∑∞un收敛
定理4:比值审敛法，达朗贝尔判别法：设级数∑i=n∞un\sum\limits_{i=n}^{\infin}u_ni=n∑∞un是正项级数，如果
limn→∞unun−1=ρ\lim\limits_{n\to\infin}\frac{u_n}{u_{n-1}}=\rhon→∞limun−1un=ρ，当ρ<1\rho<1ρ<1时，级数收敛；当ρ>1\rho>1ρ>1时，级数发散；当ρ=1\rho=1ρ=1时，级数可能收敛也可能发散；
这个定理的一个直观理解，如果当n→∞n\to\infinn→∞时，unu_nun趋于等比数列，则其收敛性和等比数列类似。
定理5：根治审敛法，柯西判别法
设级数∑i=n∞un\sum\limits_{i=n}^{\infin}u_ni=n∑∞un为正项级数，如果limn→∞unn=ρ\lim\limits_{n\to\infin}\sqrt[n]{u_n}=\rhon→∞limnun=ρ，当ρ<1\rho<1ρ<1时，级数收敛；当ρ>1\rho>1ρ>1时，级数发散；当ρ=1\rho=1ρ=1时，级数可能收敛也可能发散；
证明：因为limn→∞unn=ρ\lim\limits_{n\to\infin}\sqrt[n]{u_n}=\rhon→∞limnun=ρ，设当n>N时，对于任意n都有unn<ρ+ϵ<1\sqrt[n]{u_n}<\rho+\epsilon<1nun<ρ+ϵ<1，所以，当n>N时，总有un<(ρ+ϵ)nu_n<(\rho+\epsilon)^nun<(ρ+ϵ)n，后者是个公比为ρ+ϵ\rho+\epsilonρ+ϵ的等比数列，公比小于1,根据比较审敛法，级数∑i=n∞un\sum\limits_{i=n}^{\infin}u_ni=n∑∞un收敛。
定理6：极限审敛法：
若级数∑i=n∞un\sum\limits_{i=n}^{\infin}u_ni=n∑∞un为正项级数，
(1)若limn→∞nun=l(l>0)\lim\limits_{n\to\infin}nu_n=l(l>0)n→∞limnun=l(l>0)，则级数∑i=n∞un\sum\limits_{i=n}^{\infin}u_ni=n∑∞un发散；
(2)若limn→∞npun=l(l∈[0,∞),p>1)\lim\limits_{n\to\infin}n^pu_n=l(l\in[0,\infin), p>1)n→∞limnpun=l(l∈[0,∞),p>1)，则级数∑i=n∞un\sum\limits_{i=n}^{\infin}u_ni=n∑∞un收敛；
说明unu_nun是1np\frac{1}{n^p}np1的同阶无穷小，具有相同的收敛性；
交错级数审敛法
交错级数：各项是正负相间的。
定理7：莱布尼茨定理
若交错级数∑i=n∞(−1)n−1un\sum\limits_{i=n}^{\infin}(-1)^{n-1}u_ni=n∑∞(−1)n−1un满足条件
(1) un≥un+1(n=1,2,3,...)u_n\ge u{n+1} (n=1,2,3,...)un≥un+1(n=1,2,3,...)，
(2)limn→∞un=0\lim\limits_{n\to\infin}u_n=0n→∞limun=0，
那么级数收敛，且其和小于sn≤u1s_n\le u_1sn≤u1，余项∣rn∣≤un+1|r_n|\le u_{n+1}∣rn∣≤un+1
绝对收敛与条件收敛：
若级数∑i=n∞un\sum\limits_{i=n}^{\infin}u_ni=n∑∞un各项绝对值构成的级数∑i=n∞∣un∣\sum\limits_{i=n}^{\infin}|u_n|i=n∑∞∣un∣收敛，则成为绝对收敛，∑i=n∞un\sum\limits_{i=n}^{\infin}u_ni=n∑∞un收敛而∑i=n∞∣un∣\sum\limits_{i=n}^{\infin}|u_n|i=n∑∞∣un∣不收敛，称为条件收敛。
定理10：绝对收敛级数的乘法：
设级数∑i=n∞un\sum\limits_{i=n}^{\infin}u_ni=n∑∞un和∑i=n∞vn\sum\limits_{i=n}^{\infin}v_ni=n∑∞vn都绝对收敛，其和分别为sss和σ\sigmaσ，则他们的柯西乘积u1v1+(u1v2+u2v1)+...∑i=1nu1vn−1+...u_1v_1+(u_1v_2+u_2v_1)+...\sum\limits_{i=1}^{n}u_1v_{n-1}+...u1v1+(u1v2+u2v1)+...i=1∑nu1vn−1+...也绝对收敛，其和为sσs\sigmasσ.
幂级数
如果给定一个在区间I上的函数列，u1(x),u2(x),...,un(x),...u_1(x), u_2(x), ... , u_n(x), ...u1(x),u2(x),...,un(x),...，那么由这个函数列构成的表达式f(x)=u1(x)+u2(x)+...+un(x)+...f(x)=u_1(x)+u_2(x)+... +u_n(x)+...f(x)=u1(x)+u2(x)+...+un(x)+...，称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数，简称(函数项)级数。对于每个确定的值x0∈Ix_0\in Ix0∈I，级数f(x0)f(x_0)f(x0)可能收敛也可能发散，如果收敛，就称x0x_0x0是级数的收敛点，否则称为发散点，收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体，称为发散域。对于收敛域内的一点x,函数项级数称为一个收敛的常数项级数，因而有一组确定的和s,这样在收敛域上，函数项级数的和是x的函数s(x)s(x)s(x)，通常称为函数项级数的和函数。
幂级数及其收敛性
幂级数：函数项级数中常见的一类是每一项都是常数和幂函数相乘的形式，即所谓幂级数，它的形式是
∑n=0∞anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...\sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n+...n=0∑∞anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...
定理1：阿贝尔定理：
如果级数∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^{\infin}a_nx^nn=0∑∞anxn在x0(x0≠0)x_0(x_0\ne0)x0(x0=0)收敛，则对于所有∣x∣<∣x0∣|x|<|x_0|∣x∣<∣x0∣的所有点，都收敛。反之，如果级数在x0x_0x0处发散，对于所有∣x∣>∣x0∣|x|>|x_0|∣x∣>∣x0∣，级数都发散。
定理2：如果limn→∞∣an+1an∣=ρ\lim\limits_{n\to\infin}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rhon→∞limanan+1=ρ，其中an,an+1a_{n}, a_{n+1}an,an+1是相邻两项的系数，则级数收敛域：
R={1ρρ≠0+∞ρ=00ρ=+∞R= \begin{cases} \begin{aligned} &\frac{1}{\rho} \space\space&\rho\ne0\\ &+\infin&\rho=0\\ &0&\rho=+\infin\\ \end{aligned} \end{cases} R=⎩⎨⎧ρ1 +∞0ρ=0ρ=0ρ=+∞
幂级数运算的性质
幂级数∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^{\infin}a_nx^nn=0∑∞anxn和∑n=0∞bnxn\sum\limits_{n=0}^{\infin}b_nx^nn=0∑∞bnxn分别在区间(−R,R)(-R,R)(−R,R)和(−R′,R′)(-R',R')(−R′,R′)上收敛，则二者加和、差、柯西乘积都收敛，收敛域取两者较小的集合。但是两者相除可能会比原来的收敛域小的多。 针对周期信号的级数。
性质1：幂级数∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^{\infin}a_nx^nn=0∑∞anxn在其收敛域I上连续。
性质2: 幂级数∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^{\infin}a_nx^nn=0∑∞anxn在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式：
∫0xs(t)dt=∫0x[∑0∞antn]dt=∑0∞∫0xantndt=∑0∞ann+1xn+1(x∈I)\begin{aligned} \int_0^xs(t)dt&=\int_0^x[\sum_0^\infin a_nt^n]dt\\ &=\sum_0^\infin\int_0^xa_nt^ndt\\ &=\sum_0^\infin\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\space(x\in I) \end{aligned} ∫0xs(t)dt=∫0x[0∑∞antn]dt=0∑∞∫0xantndt=0∑∞n+1anxn+1 (x∈I)
逐项积分后所得幂级数和原级数具有相同的收敛半径。
性质3：幂级数∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^{\infin}a_nx^nn=0∑∞anxn在其收敛区间(−R,R)(-R,R)(−R,R)逐项可导，且有逐项求导公式，
s′(x)=(∑n=0∞anxn)′=∑n=0∞nanxn−1(∣x∣函数展开成幂级数
傅里叶级数
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