第十三届蓝桥杯Java、C++、Python组国赛真题——环境治理（三语言AC）
目录
- 1.环境治理
- 1.问题描述
- 2.输入格式
- 3.输出格式
- 4.样例输入
- 5.样例输出
- 6.数据范围
- 7.原题链接
- 2.解题思路
- 3.模板代码
- C++
- Java
- python
1.环境治理
1.问题描述
LQ 国拥有 nnn 个城市, 从 0 到 n−1n-1n−1 编号, 这 nnn 个城市两两之间都有且仅有 一条双向道路连接, 这意味着任意两个城市之间都是可达的。每条道路都有一 个属性 DDD, 表示这条道路的灰尘度。当从一个城市 AAA 前往另一个城市 BBB 时, 可 能存在多条路线, 每条路线的灰尘度定义为这条路线所经过的所有道路的灰尘 度之和, LQ 国的人都很讨厌灰尘, 所以他们总会优先选择灰尘度最小的路线。
LQ 国很看重居民的出行环境, 他们用一个指标 PPP 来衡量 LQ 国的出行环 境, PPP 定义为:
P=∑i=0n−1∑j=0n−1d(i,j)P=\sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} d(i, j) P=i=0∑n−1j=0∑n−1d(i,j)
其中 d(i,j)d(i, j)d(i,j) 表示城市 iii 到城市 jjj 之间灰尘度最小的路线对应的灰尘度的值。 为了改善出行环境, 每个城市都要有所作为, 当某个城市进行道路改善时, 会将与这个城市直接相连的所有道路的灰尘度都减少 1 , 但每条道路都有一个 灰尘度的下限值 LLL, 当灰尘度达到道路的下限值时, 无论再怎么改善, 道路的 灰尘度也不会再减小了。
具体的计划是这样的:
第 1 天, 0 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善;
第 2 天, 1 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善;
⋯\cdots⋯
第 nnn 天, n−1n-1n−1 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善;
第 n+1n+1n+1 天, 0 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善;
第 n+2n+2n+2 天, 1 号城市对与其直接相连的道路环境进行改善;
LQ 国想要使得 PPP 指标满足 P≤QP \leq QP≤Q 。请问最少要经过多少天之后, PPP 指标 可以满足 P≤QP \leq QP≤Q 。如果在初始时就已经满足条件, 则输出 0 ; 如果永远不可能 满足, 则输出 −1-1−1 。
2.输入格式
输入的第一行包含两个整数 n,Qn,Qn,Q, 用一个空格分隔, 分别表示城市个数和 期望达到的 PPP 指标。
接下来 nnn 行, 每行包含 nnn 个整数, 相邻两个整数之间用一个空格分隔, 其 中第 iii 行第 jjj 列的值 Dij(Dij=Dji,Dii=0)D_{i j}\left(D_{i j}=D_{j i}, D_{i i}=0\right)Dij(Dij=Dji,Dii=0) 表示城市 iii 与城市 jjj 之间直接相连 的那条道路的灰尘度。
接下来 nnn 行, 每行包含 nnn 个整数, 相邻两个整数之间用一个空格分隔, 其 中第 iii 行第 jjj 列的值 Lij(Lij=Lji,Lii=0)L_{i j}\left(L_{i j}=L_{j i}, L_{i i}=0\right)Lij(Lij=Lji,Lii=0) 表示城市 iii 与城市 jjj 之间直接相连的 那条道路的灰尘度的下限值。
3.输出格式
输出一行包含一个整数表示答条。
4.样例输入
3 10
0 2 4
2 0 1
4 1 0
0 2 2
2 0 0
2 0 0
5.样例输出
2
6.数据范围
1≤n≤100,0≤Lij≤Dij≤100000,0≤Q≤231−11≤n≤100,0≤Lij ≤Dij ≤100000,0≤Q≤2^{31} −11≤n≤100,0≤Lij≤Dij≤100000,0≤Q≤231−1 。
7.原题链接
环境治理
2.解题思路
首先，对于求解P指的公式，我们要清楚，是每个点到其他所有点的最短路径之和相加，这种涉及到任意两点的最短路，加上 nnn 的最大范围只有100，很明显我们需要想到Floyd算法求任意两点的最短路。
我们并没有一个直观的算法直接求得答案，所以，我们考虑二分答案。 如果改善x天是符合要求的，那么大于x的天数也一定符合，但小于x的天数不一定，所以满足二段性，我们可以二分。
我们用g[][]记录初始道路的灰尘度,m[][]记录每条道路的最低灰尘度,f[][]记录的是在改善x天后的每条道路的环境。这样我们就可以使用二分+Floyd的做法得到答案。
当然这里有一些需要注意的细节问题，当我们改变f[i][j]的值时，相应的也要改变f[j][i]的值，因为任意两点只存在一条双向道路，所以这两个状态应该表示的是同一条道路。每次check时，别忘记将f[][]重置回g[][]，再去减去对于的天数。floyd函数每次跑完后，计算并返回此时的P值。
最开始时我们可以判断每条道路都是最低复杂度的情况下，计算出来的P是否大于Q，如果大于说明肯定无解，直接返回-1即可。二分对于r的上限也需要注意，最多100个点，每个点最大1e5，所以理论上我们只要开到大于1e7以上就不会有问题，否则样例过大时可能会出错。
时间复杂度：O(n3log(n∗m))O(n^3log(n*m))O(n3log(n∗m))
3.模板代码
C++
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=110;LL g[N][N];
LL m[N][N];
LL f[N][N];
LL n,q;
LL floyd()
{LL a=0;for (int k = 1; k <= n; k ++ )for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = 1; j <= n; j ++ )f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)a+=f[i][j];return a;
}
//改善X天
bool check(LL x){memcpy(f,g,sizeof(g));LL h=x/n;LL s=x%n;for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=n;++j){if(i==j) continue;if(i<=s) f[i][j]=max(m[i][j],f[i][j]-h-1);else f[i][j]=max(m[i][j],f[i][j]-h);f[j][i]=f[i][j];}}return floyd()<=q;
}
void solve()
{cin>>n>>q;for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=n;++j){cin>>g[i][j];}}for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=n;++j){cin>>m[i][j];f[i][j]=m[i][j];}}if(floyd()>q){cout<<-1<int mid=l+r>>1;if(check(mid)) r=mid;else l=mid+1;}cout<solve();return 0;
}
Java
import java.io.*;public class Main {static int N=110;static long[][] g=new long[N][N],m=new long[N][N],f=new long[N][N];static long n,q;static BufferedReader br=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));static PrintWriter out=new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));public static void main(String[] args) throws IOException {String[] s=br.readLine().split(" ");n=Long.parseLong(s[0]);q=Long.parseLong(s[1]);for(int i=1;i<=n;++i){s=br.readLine().split(" ");for(int j=1;j<=n;++j){g[i][j]=Long.parseLong(s[j-1]);}}for(int i=1;i<=n;++i){s=br.readLine().split(" ");for(int j=1;j<=n;++j){m[i][j]=Long.parseLong(s[j-1]);f[i][j]=m[i][j];}}if(floyd()>q){out.println(-1);out.flush();return;}long l=0,r=1000000000;while(llong mid=l+r>>1;if(check(mid)) r=mid;else l=mid+1;}out.println(r);out.flush();}static long floyd(){long a=0;for (int k = 1; k <= n; k ++ )for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = 1; j <= n; j ++ )f[i][j] =Math.min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)a+=f[i][j];return a;}static boolean check(long x){for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=n;++j) f[i][j]=g[i][j];}long h=x/n;long s=x%n;for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=n;++j){if(i==j) continue;if(i<=s) f[i][j]=Math.max(m[i][j],f[i][j]-h-1);else f[i][j]=Math.max(m[i][j],f[i][j]-h);f[j][i]=f[i][j];}}return floyd()<=q;}
}
python
import copy
N=110
g=[[0]*N for i in range(N)]
m=[[0]*N for i in range(N)]
f=[[0]*N for i in range(N)]
n,q=map(int,input().split())
def floyd(f):a=0for k in range(1,n+1):for i in range(1,n+1):for j in range(1,n+1):f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j])for i in range(1,n+1):for j in range(1,n+1):a=a+f[i][j]return a
def check(x,g):f=copy.deepcopy(g)h=x//ns=x%nfor i in range(1,n+1):for j in range(1,n+1):if i==j:continueif i<=s:f[i][j]=max(m[i][j],f[i][j]-h-1)else:f[i][j]=max(m[i][j],f[i][j]-h)f[j][i]=f[i][j]return floyd(f)<=qdef solve():for i in range(1,n+1):l=list(map(int,input().split()))for j in range(1,n+1):g[i][j]=l[j-1]#灰尘度for i in range(1,n+1):l = list(map(int, input().split()))for j in range(1,n+1):m[i][j]=l[j-1]#灰尘度的下限值f[i][j]=m[i][j]if floyd(f)>q:print(-1)returnl,r=0,10000000while (l < r):mid=(l+r)>>1if (check(mid,g)):r=midelse:l=mid+1print(r)
solve()