1.1 线性空间

什么是数域？数域是一种数集，元素的和、差、积、商仍在数集中（具有封闭性），称为数域。如有理数域Q，复数域C，实数域R

1.1.1定义：

设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V的元素之间中定义一种规则，即加法规则。在V中的任意两个元素α、β，在进行加法规则之后,所得到的元素ν也在V中，记作：ν=α+β。并且该加法规则满足下面四条法则：

（1）两个加法定律：

​ ① 交换律 α+β = β+α

​ ② 结合律 α+（β +ξ） = （α+β ）+ξ

（2）零元素：

​ ③ 对于V中任意一个元素α，都有α+0 = α

（3）负元素：

​ ④ 对于V中任意一个元素α，都有V中的元素β，使得α+β = 0

Tips:

同时，在集合V和数域F之间还定义了一种规则，即数乘。对于V中的任意一个元素α与F中的任意一个元素k，在α和k进行数乘之后，在集合V中都有唯一 一个η与之对应，记作：η=α·k。

并且该数乘满足下面四条法则：

（1）两个数乘对应加法的分配率

​ ⑤ 数乘法对抽象的加法的分配率：（α+β）· k = α · k + β · k

​ ⑥ 数乘法对属于中数的分配率：（k + l）· α = k·α + l·α

（2）⑦数域中的两个元素先做乘法再做数乘，等于连续做两次数乘法：k ·（lα）=（kl）·α

（3）⑧F中的乘法单位元1与V中元素α做数乘的时候，α值不变：1 · α = α，

其中，k,l表示数域中对的任意元素，α、β表示集合V中任意元素，称集合V为数域F上的线性空间。

1.1.2三个经典的线性空间例子

例（1）F上的标准线性空间Fⁿ

V:=Fⁿ=F x F x F x …x F(n个F)；（：=,表示“定义”的意思）

加法：
{V1V2...Vn}+{w1w2...wn}={V1+w1V2+w2...Vn+wn}(1)\left\{ \begin{matrix} V_{1}\\ V_{2}\\ ...\\ V_{n}\\ \end{matrix} \right\} +\left\{ \begin{matrix} w_{1}\\ w_{2}\\ ...\\ w_{n}\\ \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} V_{1}+w_{1}\\ V_{2}+w_{2}\\ ...\\ V_{n}+w_{n}\\ \end{matrix} \right\}\tag{1} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​V1​V2​...Vn​​⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫​+⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​w1​w2​...wn​​⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫​=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​V1​+w1​V2​+w2​...Vn​+wn​​⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫​(1)
数乘：
{V1V2...Vn}⋅K={V1⋅KV2⋅K...Vn⋅K}(2)\left\{ \begin{matrix} V_{1}\\ V_{2}\\ ...\\ V_{n}\\ \end{matrix} \right\} ·K= \left\{ \begin{matrix} V_{1}·K\\ V_{2}·K\\ ...\\ V_{n}·K\\ \end{matrix} \right\}\tag{2} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​V1​V2​...Vn​​⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫​⋅K=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​V1​⋅KV2​⋅K...Vn​⋅K​⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫​(2)

例(2)几何空间作为线性空间

V= { 空间有向线段的全体}，F = 实数域R

加法：平行四边形法则/三角形法则

数乘法：同向或反向的伸缩

tips:当两条有效线段经过平移能够重叠，则把这两条线段算成一条线段

例（3）函数空间 F (I , Rⁿ)[F是花体，表示函数，这里用加粗表示]

V = F (I , Rⁿ), F = R。

解释：F 中 I 表示区间，Rⁿ表示n元数组构成的集合，F (I , Rⁿ)中的F叫把所有从I到Rⁿ的向量值函数（n维分量），以这个函数为元素，所构成的集合就叫函数空间

eg:
F([0,1],R ²),表示
f={f1(x)f2(x)}={sin(x)12x3}(3)f = \left\{ \begin{matrix} f_{1}(x)\\ f_{2}(x)\\ \end{matrix} \right\} =\left\{ \begin{matrix} sin(x)\\ \frac{1}{2} x^{3}\\ \end{matrix} \right\}\tag {3} f={f1​(x)f2​(x)​}={sin(x)21​x3​}(3)
这整个组成的(3)，才算是V 中的一个元素，其中的x是区间[0,1]的同一个取值。

通俗解释:函数空间中的元素是以0,1区间为定义域,具有两个分量的二维向量值函数，把这些元素作为一个元素，则所有这些函数的集合就构称为函数空间

1.1.3 向量组的线性相关性

向量组：α₁、α₂、α₃、…、α_p由向量空间中的元素所构成的有限序列;

抽象矩阵： [ α₁、α₂、α₃、…、α_p ],以向量空间中元素为元素所拼成的一行p列的矩阵；

线性组合定义：设V是属于F上的线性空间，α₁、α₂、α₃、…、α_r(r>=1)是V中一组向量，k₁、k₂、k₃、…、k_r是数域F中一组数，若向量α可以被表示成：
α=k1α1+k2α2+...+krαr(4)α = k_{1}α_{1}+k_{2}α_{2}+...+k_{r}α_{r} \tag{4} α=k1​α1​+k2​α2​+...+kr​αr​(4)
则称α可由α₁、α₂、α₃、…、α_r线性表出(示),也称α是α₁、α₂、α₃、…、α_r的线性组合。

线性相关：设α₁、α₂、α₃、…、α_r(r>=1)，是V中的一组向量。如果在属于中有r个不全为零的数k₁、k₂、k₃、…、k_r，使得：
k1α1+k2α2+...+krαr=0(5)k_{1}α_{1}+k_{2}α_{2}+...+k_{r}α_{r} = 0\tag{5} k1​α1​+k2​α2​+...+kr​αr​=0(5)
则称α₁、α₂、α₃、…、α_r线性相关.如果一组向量α₁、α₂、α₃、…、α_r不线性相关吗，就称为线性无关。换言之，若只有k₁=k₂=k₃=…=k_r，便称α₁、α₂、α₃、…、α_r线性无关.

1.1.4向量组的极大线性无关子组

若β₁、β₂、…、β_s为α₁、α₂、α₃、…、α_p的子序列，则称β₁、β₂、…、β_s为α₁、α₂、α₃、…、α_p的子组。（从母序列中挑出一个子序列构成向量组，这个子序列构成的向量组为原来母序列的子组。）

极大线性无关子组：

若β₁、β₂、…、β_s为α₁、α₂、α₃、…、α_p的子组，且β₁、β₂、…、β_s线性无关；若γ₁、γ₂、…、γ_t也是α₁、α₂、α₃、…、α_p的子组，且β₁、β₂、…、β_s为；若γ₁、γ₂、…、γ_t的子组，s1、γ₂、…、γ_t线性相关。那么称β₁、β₂、…、β_s为α₁、α₂、α₃、…、α_p极大线性无关子组。

命题：

• 母组可由其极大线性无关子组线性表示
• 子组所含向量的个数是唯一的

向量组的秩：向量组的极大线性无关组所含向量的个数，就称为向量组的秩

1.2基与坐标、坐标变换

1.2.1基与坐标

V是数域F上的线性空间，若有正整数n,及V中的向量组α₁、α₂、α₃、…、α_n,使得：

​ 1）α₁、α₂、α₃、…、α_n线性无关；

​ 2）任意α，α属于V，均可由α₁、α₂、α₃、…、α_n线性表示：
α=α1kα1+α2k2+α3kα3+...+αnkn=[α1α2α3...αn]⋅[k1K2⋮kn]α = α_{1}kα_{1}+α_{2}k_{2}+α_{3}kα_{3}+...+α_{n}k_{n}=[α_{1} α_{2} α_{3} ... α_{n}] · \left[ \begin{matrix} k_{1} \\ K_{2} \\ \vdots \\ k_{n} \\ \end{matrix} \right] α=α1​kα1​+α2​k2​+α3​kα3​+...+αn​kn​=[α1​α2​α3​...αn​]⋅⎣⎢⎢⎢⎡​k1​K2​⋮kn​​⎦⎥⎥⎥⎤​
称V是n维线性空间,α₁、α₂、α₃、…、α_n称为V的一个基（坐标系），[k₁、k₂、k₃、…、k_n ]^T(属于Fⁿ)称为α（属于V）的坐标向量,沿着该基的坐标向量：【抽象向量】 = 【基矩阵】·【坐标向量】