二进制优化的多重背包

引述

多重背包即：限定了每种物品可以拿取的最大数量（第i个物品最多有s[i]个）的背包问题，它本身可以用一个三重循环作为朴素解法，但当数据规模来到10³时有TLE的风险，因此可以使用二进制来优化。

所谓的二进制优化即：将物品×个数打包成一个新的物品，再将其视为0-1背包，即可。
能这么做的原因在于，从1到方案数s[i]之间的任何一个数都能被小于它的最大的二进制数（1、2、4、8、16、32、…、2^k、…）以及这个数本身减去这个最大的二进制数来表示，这样以0-1背包问题的方式来求解最大价值，即可知道某种物品拿几个是最优解了。

问题描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0 0 提示：
本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例

10

代码实现

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int maxn = 12505;
const int Lim = 2005;
int a[maxn] = {0}, b[maxn] = {0};
int f[maxn] = {0};
int n, m;
int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cin>>n>>m;int cnt = 0;for(int i=1;i<=n;i++){int v,w,s;cin>>v>>w>>s;int k = 1;while(k <= s){cnt ++;a[cnt] = k*v;b[cnt] = k*w;s -= k;k *= 2;}if(s > 0){cnt ++;a[cnt] = s*v;b[cnt] = s*w;}}for(int i=1;i<=cnt;i++){for(int j=m;j>=a[i];j--){f[j] = max(f[j], f[j-a[i]] + b[i]);}}cout<

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

8

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int maxn = 105;
int a[maxn][maxn] = {0}, b[maxn][maxn] = {0}, f[maxn] = {0}, s[maxn] = {0};
int n,m;
int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>s[i];for(int j=1;j<=s[i];j++){cin>>a[i][j]>>b[i][j];}}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=m;j>=0;j--){for(int k=1;k<=s[i];k++){if(j-a[i][k] >= 0){f[j] = max(f[j], f[j-a[i][k]] + b[i][k]);}}}}cout<