题目地址：

https://leetcode.com/problems/split-array-with-same-average/description/

给定一个长nnn数组AAA，A[i]≥0A[i]\ge 0A[i]≥0。问是否能将其划分为两个非空子集，使得两个子集的平均数相等。n≤30,A[i]≤104n\le 30, A[i]\le 10^4n≤30,A[i]≤104。

设划分的两个子集分别为B,CB,CB,C，则有∑B∣B∣=∑C∣C∣=∑B+∑C∣B∣+∣C∣=∑A∣A∣\frac{\sum B}{|B|}=\frac{\sum C}{|C|}=\frac{\sum B+\sum C}{|B|+|C|}=\frac{\sum A}{|A|}∣B∣∑B​=∣C∣∑C​=∣B∣+∣C∣∑B+∑C​=∣A∣∑A​而∑A∣A∣\frac{\sum A}{|A|}∣A∣∑A​与划分无关，所以我们其实就是要求是否存在一个子集，其平均值等于∑A∣A∣\frac{\sum A}{|A|}∣A∣∑A​。考虑新数组B[i]=A[i]−∑A∣A∣B[i]=A[i]-\frac{\sum A}{|A|}B[i]=A[i]−∣A∣∑A​，那么问题即转化为问BBB数组是否存在和为000的非平凡子集（非平凡的意思是不能为空，也不能为BBB自己）。为了避免处理浮点数，我们可以将BBB乘以一个系数，使其每个数都为整数。
这个是背包问题，通常来讲，这种题目可以用动态规划做，但此题的数据范围较为特殊，nnn较小，而A[i]A[i]A[i]的范围较大，如果用动态规划容易爆空间。可以考虑用双向DFS来做，参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/115587834。具体思路是，我们先考虑前n/2n/2n/2个数，进行DFS，用哈希表存一下其所有子集的和以及每个子集的元素个数（这是为了排除掉平凡子集），如果前n/2n/2n/2个数就已经有非平凡子集和为000了，那就说明有解，可以提前结束；否则再暴力DFS后n/2n/2n/2个数的每个子集的和sss，看哈希表是否存在−s-s−s并且元素个数总和大于000小于nnn，如果是，则有解。暴力枚举完毕没发现解，则无解。代码如下：

class Solution {public:bool splitArraySameAverage(vector &A) {int sum = 0;for (int x : A) sum += x;int g = gcd(sum, A.size());int a = sum / g, b = A.size() / g;for (int &x : A) x = x * b - a;unordered_map mp;return dfs1(0, 0, 0, A, mp) || dfs2(A.size() / 2, 0, 0, A, mp);}bool dfs2(int u, int cnt, int sum, vector &A,unordered_map &mp) {auto it = mp.find(-sum);if (it != mp.end() && it->second + cnt && it->second + cnt < A.size())return true;for (int i = u; i < A.size(); i++)if (dfs2(i + 1, cnt + 1, sum + A[i], A, mp)) return true;return false;}// 统计前一半的数的每个子集的和以及元素个数bool dfs1(int u, int cnt, int sum, vector &A,unordered_map &mp) {if (!sum && cnt && cnt < A.size()) return true;auto it = mp.find(sum);if (it == mp.end() || it->second > cnt) mp[sum] = cnt;for (int i = u; i < A.size() / 2; i++)if (dfs1(i + 1, cnt + 1, sum + A[i], A, mp)) return true;return false;}int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }
};

时间复杂度O(2n/2+1)O(2^{n/2+1})O(2n/2+1)，空间O(2n/2)O(2^{n/2})O(2n/2)。