假设A∈Rm×nA\in\R^{m\times n}A∈Rm×n 和 B∈Rp×qB\in\R^{p\times q}B∈Rp×q 秩相同，值域不一定相同；但是有一个特例 ATAA^TAATA 和 ATA^TAT 的值域相同，秩也相同，具体证明可以参考1. https://blog.csdn.net/weixin_44382195/article/details/127830660?spm=1001.2014.3001.5501、2. https://blog.csdn.net/weixin_44382195/article/details/120594387?spm=1001.2014.3001.5502、3. https://blog.csdn.net/weixin_44382195/article/details/120619281

举个反例：
A=[100010000]A=\begin{bmatrix} 1 & 0& 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 &0 \end{bmatrix}A=⎣⎡​100​010​000​⎦⎤​

B=[000010001]B=\begin{bmatrix} 0 & 0& 0\\ 0 & 1& 0\\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}B=⎣⎡​000​010​001​⎦⎤​

秩均为2，但是给定一个 x=[200]x=\begin{bmatrix} 2\\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}x=⎣⎡​200​⎦⎤​，被 AAA 映射到 [200]\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}⎣⎡​200​⎦⎤​，这个不存在于 BBB 的值域中。